1、第八节离散型随机变量的均值与方差、正态分布命题分析预测学科核心素养从近五年的高考来看，离散型随机变量的均值与方差、正态分布的应用是命题的热点，一般为解答题，难度中档偏上通过离散型随机变量的均值与方差、正态分布，主要考查数据分析与数学运算及数学建模核心素养授课提示：对应学生用书第228页知识点一均值与方差1均值（1）一般地，若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称EXx1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平（2）若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E（aXb）aEXb（3）若X服从两点分布，则E
2、Xp；若XB（n，p），则EXnp2方差（1）设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn则（xiEX）2描述了xi（i1，2，n）相对于均值EX的偏离程度而DX （xiEX）2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度，称DX为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差（2）D（aXb）a2DX（3）若X服从两点分布，则DXp（1p）（4）若XB（n，p），则DXnp（1p） 温馨提醒 二级结论1若x1，x2相互独立，则E（x1x2）Ex1Ex22均值与方差的关系：DXEX2E2X3超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几
3、何分布，则EX必明易错1理解均值EX易失误，均值EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而EX是不变的，它描述X值的取值平均状态2注意E（aXb）aEXb，D（aXb）a2DX易错1已知随机变量X的取值为0，1，2，若P（X0），EX1，则DX（）ABC D解析：设P（X1）p，则P（X2）1pp由EX1，得01p21，得p，则DX（01）2（11）2（21）2答案：A2已知X的分布列为X101P设Y2X3，则EY_解析：EX，EYE（2X3）2EX33答案：3在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题乙能正确完成每道题的
4、概率为，且每道题完成与否互不影响记乙能答对的题数为Y，则Y的数学期望为_解析：由题意知Y的可能取值为0，1，2，3，且YB，则EY32答案：2知识点二正态分布（1）正态曲线的特点曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散（2）正态分布的三个常用数据P（X）0682 6；P（2X2）0954 4；P（32）0023，则P（22）（）A0954 B0977C048
5、8 D0477解析：P（22）12P（2）1002320954答案：A2已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布N（，2），则P（）6826%，P（22）9544%）A456% B1359%C2718% D3174%解析：由已知0，3，所以P（36）P（66）P（32c1）P（X2c1）P（Xc3），所以2c1c332，所以c答案：授课提示：对应学生用书第229页题型一离散型随机变量的均值与方差例（2021重庆模拟）某企业对新扩建的厂区进行绿化，移栽了银杏、垂柳两种大树各2株假定银杏移
6、栽的成活率为，垂柳移栽的成活率为，且各株大树是否成活互不影响（1）求两种大树各成活1株的概率；（2）设为两种大树成活的株数之和，求随机变量的分布列及数学期望解析（1）记“银杏大树成活1株”为事件A，“垂柳大树成活1株”为事件B，则“两种大树各成活1株”为事件AB由题可知P（A）C，P（B）C，由于事件A与B相互独立，所以P（AB）P（A）P（B）（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4P（0）；P（1）CC；P（2）；P（3）CC；P（4）所以的分布列为01234PE12341求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计
7、算2注意E（aXb）aEXb，D（aXb）a2DX的应用对点训练(2021西安八中模拟)为了预防春季流感，市防疫部门提供了编号为1，2，3，4的四种疫苗供市民选择注射，每个人均能从中任选一个编号的疫苗接种，现有甲，乙，丙三人接种疫苗(1)求三人注射的疫苗编号互不相同的概率；(2)设三人中选择的疫苗编号最大数为X，求X的分布列及数学期望解析：(1)由题意可知，总的基本事件为4364，三人注射的疫苗批号互不相同的基本事件数为A24，所以所求的概率为P；(2)由题意知随机变量X的可能取值为1，2，3，4；计算P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，所以X的分布列为X1234P数学期望为EX1
8、234题型二正态分布例（2021合肥市高三二检）为了解A市高三学生的数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，试估计该市参加此次检测考试的理科学生的数学平均成绩0；（精确到个位）（2）研究发现，本次检测考试的理科数学成绩X近似服从正态分布N（，2），其中0，193按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占46%，据此估计在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩是多少分？（精确到个位）已知A市高三理科学生约有10 000名，某理科学生在此次检测考试中数学成绩为107分，则该学生
9、在全市的排名大约是多少？解析（1）由题意估计该市此次检测考试中理科学生的数学平均成绩065005750088501295015105024115018125011350051450031032103（分）（2）记在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩为x1分，根据题意，P（xx1）11046，即054由（0705 4）054得，0705 4x11166117，所以在本次检测考试中达到升一本的理科数学成绩约为117分P（x107）11（0207 3）10583 20416 8，所以10 0000416 84 168，所以理科数学成绩为107分的该学生在全市的排名大约是第4 168名正态分布下的
10、概率计算常见的两类问题（1）利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1（2）利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于（，），（2，2），（3，3）中的哪一个题组突破1已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（X4）0158 7，则P（2X4）（）A0682 6B0341 3C0460 3 D0920 7解析：因为随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（x4）0158 7，所以P（X2）0158 7，所以P（2X0，试卷满分150分），统计结果显示，数学考试成绩在70分到1
11、10分之间的人数约为总人数的，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有人解析：因为成绩服从正态分布XN（90，a2），所以其正态分布曲线关于直线x90对称又因为成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，由对称性知成绩在110分以上的人数约为总人数的，所以此次数学考试成绩不低于110分的学生约有900180（人）答案：180题型三均值方差的实际应用 例某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（1）现从去年的消费金额超过3 200元的消费者中随机抽取2人，求至少有1位消费者去年的消费金额在（3 200，4 000内的概率；（2）针对这些消费者，该健身机构今
12、年欲实施入会制，详情如下表：会员等级消费金额普通会员2 000银卡会员2 700金卡会员3 200预计去年消费金额在（0，1 600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1 600，3 200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在（3 200，4 800内的消费者都将会申请办理金卡会员，消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消费金额，该健身机构在今年年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案1：按分层抽样从普通会员、银卡会员、金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励6
13、00元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球，若摸到红球的总数为2，则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3，则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励，规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少？并说明理由解析（1）去年的消费金额超过3 200元的消费者有12人，随机抽取2人，设消费金额在（3 200，4 000的范
14、围内的人数为X，可能取值为0，1，2P（X1）1P（X0）1，所以至少有1位消费者去年的消费金额在（3 200，4 000的范围内的概率为（2）方案1：按分层抽样从普通会员、银卡会员、金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为257，2515，253按照方案1奖励的总金额1750015600380014 900（元）方案2：设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则的可能取值为0，200，300摸到红球的概率P，所以P（0）CC，P（200）C，P（300）C的分布列为0200300P数学期望E0200300768（元），按照方案2奖励的总金
15、额2（28260312）76814 1312（元），由12知，方案2投资较少利用均值、方差进行决策的两个方略（1）当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断（2）若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策对点训练（2021佛山模拟）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中2道题的便可通过已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响（1）分别求甲、乙两人正确完
16、成面试题数的分布列及数学期望；（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？解析：（1）设甲正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3P（1）；P（2）；P（3）应聘者甲正确完成题数的分布列为123PE1232设乙正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3P（0）C；P（1）C；P（2）C；P（3）C应聘者乙正确完成题数的分布列为0123PE01232（或因为B，所以E32）（2）因为D（12）2（22）2（32）2，D3所以DD综上所述，从做对题数的数学期望来看，两人水平相当；从做对题数的方差来看，甲较稳定；从至少完成2道题的概率来看，甲面试通过的可能性大离散型随机变量的期望与
17、方差应用中的核心素养逻辑推理期望与方差的创新交汇应用问题离散型随机变量的期望多在解答题中考查除独立考查外，还与正态分布，统计等交汇考查例（2019高考全国卷）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的
18、白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i0，1，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，piapi1bpicpi1（i1，2，7），其中aP（X1），bP（X0），cP（X1）假设05，08证明：pi1pi（i0，1，2，7）为等比数列；求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性解析（1）X的所有可能取值为1，0，1P（X1）（1），P（X0）（1）（1），P（X1）（1）所以X的分布列为X
19、101P（1）（1）（1）（1）（2）证明：由（1）得a04，b05，c01，因此pi04pi105pi01pi1，故01（pi1pi）04（pipi1），即pi1pi4（pipi1）又因为p1p0p10，所以pi1pi（i0，1，2，7）是公比为4，首项为p1的等比数列由可得p8p8p7p7p6p1p0p0（p8p7）（p7p6）（p1p0）p1由于p81，故p1，所以p4（p4p3）（p3p2）（p2p1）（p1p0）p1p4表示最终认为甲药更有效的概率由计算结果可以看出，在甲药治愈率为05，乙药治愈率为08时，认为甲药更有效的概率为p40003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种
20、试验方案合理对点训练已知A1，A2，A3，A10等10所高校举行自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为p（0p1）（1）如果该同学10所高校的考试都参加，恰有m（1m10）所通过的概率为f（p），当p为何值时，f（p）取得最大值；（2）若p，该同学参加每所高校考试所需的费用均为a元，该同学决定按A1，A2，A3，A10顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，否则，继续参加其他高校的考试，求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望解析：（1）因为该同学通过各校考试的概率均为p，所以该同学恰好通过m（1m10）所高校自主招生考试的概率为f（p）Cpm（1p）10m，f（p）Cmpm1（1p）10m（10m）pm（1p）9mCpm1（1p）9mm（1p）（10m）pCpm1（1p）9m（m10p），当0p0，f（p）单调递增；当p1时，f（p）0，f（p）单调递减，所以当p时，f（p）取得最大值（2）设该同学共参加了i次考试的概率为Pi（1i10，iZ）因为PiiZ，所以该同学参加考试所需费用的分布列如下：a2a3a4a5a6a7a8a9a10aP所以Ea，令S129，则S1289，由得S9，所以S19，所以Eaaa2aa（元）