1、第三课时定点、定值、探索性问题授课提示：对应学生用书第197页题型一圆锥曲线中的定点问题探求直线、曲线过定点或两条直线的交点在定曲线上等问题例（2020高考全国卷）已知A，B分别为椭圆E：y21（a1）的左，右顶点，G为E的上顶点，8P为直线x6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点解析（1）由题设得A（a，0），B（a，0），G（0，1）则（a，1），（a，1）由8，得a218，即a3所以E的方程为y21（2）证明：设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）若t0，设直线CD的方程为xmyn，由题意可知3n3由于直线PA的
2、方程为y（x3），所以y1（x13）直线PB的方程为y（x3），所以y2（x23）可得3y1（x23）y2（x13）由于y1，故y，可得27y1y2（x13）（x23），即（27m2）y1y2m（n3）（y1y2）（n3）20将xmyn代入y21得（m29）y22mnyn290所以y1y2，y1y2代入式得（27m2）（n29）2m（n3）mn（n3）2（m29）0解得n3（舍去）或n故直线CD的方程为xmy，即直线CD过定点若t0，则直线CD的方程为y0，过点综上，直线CD过定点对点训练（2021武汉模拟）过抛物线C：y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|8（1
3、）求直线l的方程；（2）若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标解析：（1）由y24x知焦点F的坐标为（1，0），则直线l的方程为yk（x1），代入抛物线方程y24x，得k2x2（2k24）xk20，由题意知k0，且（2k24）24k2k216（k21）0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2，x1x21由抛物线的弦长公式知|AB|x1x228，则6，即k21，解得k1所以直线l的方程为y（x1）（2）证明：由（1）及抛物线的对称性知，D点的坐标为（x1，y1），直线BD的斜率kBD，所以直线BD的方程为yy1（xx1），即（y2y1）yy2y1y4x4x1因
4、为y4x1，y4x2，x1x21，所以（y1y2）216x1x216，即y1y24（y1，y2异号）所以直线BD的方程为4（x1）（y1y2）y0，对任意y1，y2R，有解得即直线BD恒过定点（1，0）题型二圆锥曲线中的定值问题探求以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，常涉及某些元素、斜率、弦长、面积的定值问题例（2021驻马店模拟）已知椭圆C：1（ab0）的短轴长为2，且椭圆C的离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的上焦点作相互垂直的弦AB，CD，求证：为定值解析（1）由题意可知2b2，b1，又椭圆的离心率为，则a，故椭圆C的方程为x21（2）证明：当直线AB的斜率不存在或为零时，当直线
5、AB的斜率存在且不为零时，设直线AB的方程为ykx1，A（x1，y1），B（x2，y2），由消y得（k22）x22kx10，x1x2，x1x2，|AB|，同理可得，|CD|，对点训练在直角坐标系xOy中，已知椭圆E的中心在原点，长轴长为8，椭圆在x轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆内一点M（1，3）的直线与椭圆E交于不同的A，B两点，交直线yx于点N，若m，n，求证：mn为定值，并求出此定值解析：（1）由已知得，2a8，a2c，则a4，c2，又b2a2c2，b212，椭圆的标准方程为1（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，x0
6、），由m，得m（1x1，3y1），x1，y1，A点A在椭圆1上，1，得到9m296m48x0；同理，由n，可得9n296n48x0m，n可看作是关于x的方程9x296x48x0的两个根，则mn为定值题型三圆锥曲线中的存在性问题存在性问题一般分为探索条件和探索结论两种类型，若探索条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在若探索结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论例已知椭圆C：1（ab0）的离心率e，以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线xy20相切（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C有两个不同的交点
7、M，N时，能在直线y上找到一点P，在椭圆C上找到一点Q，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由解析（1）由椭圆的离心率e，得，得bc上顶点为（0，b），右焦点为（b，0），以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为圆心为，半径为b，b，即|b2|b，得bc1，a，椭圆C的标准方程为y21（2）不存在理由如下：设直线的方程为y2xt，M（x1，y1），N（x2，y2），P，Q（x4，y4），MN的中点为D（x0，y0），由消去x，得9y22tyt280，所以y1y2，且4t236（t28）0，故y0，且3t3由，得（x4x2，y4y2），所以y1y4y2，y4y1y2t，（也可由知四边形P
8、MQN为平行四边形，而D为线段MN的中点，因此，D也为线段PQ的中点，所以y0，可得y4）又3t3，所以y41，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是1，1矛盾故不存在斜率为2的直线满足条件求解存在性问题的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在（2）策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件对点训练（2021惠州调研）已知定点A（3，0），B（3，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为，记动点M的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点T（1，0）的直线l与曲线C交于P，Q两点
9、，是否存在定点S（x0，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值？若存在，求出S的坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）设动点M（x，y），则直线MA的斜率kMA（x3），直线MB的斜率kMB（x3）因为kMAkMB，所以，化简得y21，又x3，所以曲线C的方程为y21（x3）（2）由题意得直线l的斜率不为0，根据直线l过点T（1，0），可设直线l的方程为xmy1，联立消去x得（m29）y22my80设P（x1，y1），Q（x2，y2），则直线SP与SQ的斜率分别为kSP，kSQ，kSPkSQ，当x03时，任意mR，kSPkSQ；当x03时，任意mR，kSPkSQ所以存在定点S（3，0），使得直线SP与SQ斜率之积为定值