1、试卷类型：A2015年广州市高考模拟考试 数 学（理科） 2015.1本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用
2、铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答漏涂、错涂、多涂的，答案无效5考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，按要求交回试卷和答题卡一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知i为虚数单位，复数对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2. 已知集合，则A. B. C. D. 3设向量，, 若方向相反, 则实数的值是开始输入整数是否输出结束A B C D 4一算法的程序框图如图1，若输出的， 则输入的的值可能为A B C D 5. 将函数的
3、图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是 A B C D 6. 用,表示空间中三条不同的直线, 表示平面, 给出下列命题: 若, , 则; 若, , 则; 若, , 则; 若, , 则.其中真命题的序号是A B C D 图17. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过点 的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则的周长为A B C D 8. 已知映射.设点，点是线段上一动点，.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为A B C D 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9. 不等式的解集是 .
4、10. 已知数列是等差数列，且，则的值为 .11. 在平面直角坐标系中，设不等式组所表示的平面区域是，从区域中随 机取点，则的概率是 .12. 由，这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝 对值等于的四位数的个数是 . 13. 已知函数, 则的值为 .（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14（几何证明选讲选做题）如图2，圆的直径，直线与圆相切于点，于点D，若，设，则_ 15（坐标系与参数方程选讲选做题） 图2在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，则线段的垂直平分线的极坐标方程为 . 三、解答题： 本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
5、16（本小题满分12分） 已知函数R，是函数的一个零点. （1）求的值，并求函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值.17.（本小题满分12分）广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图） 分组频数频率 表1将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）求，的值.（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）用表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量的分布列和数学期望18.（本小题满分14分） 如图，四边形是正方形，与均是以为直角顶点的等腰直角三角形
6、， 点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值. 19.（本小题满分14分）已知数列的前项和满足：，为常数，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，设，且数列的前项和为，求证：20（本小题满分14分） 已知椭圆的离心率为，且经过点圆.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由21.（本小题满分14分） 已知函数，R . （1）讨论函数的单调性; （2）若函数有两个极值点, 且, 求的取值范围; （3）在（2）的条件下, 证明:.2015年广州市高考模拟考试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案
7、与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案BBDCADAB
8、二填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分其中1415题是选做题，考生只能选做一题9. 10. 11 12 13 14 15三解答题： 本大题共6小题，满分80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）（1）解：是函数的一个零点， . 1分 . 2分 3分 . 4分 由，Z ， 得，Z ， 5分 函数的单调递增区间是Z. 6分 （2）解：， . . 7分 ， . 8分 ， . . 9分 ， . 10分 11分 . 12分17. （本小题满分12分）（1）解：，. 2分(2) 解：设表示事件“日销售量高于100个”，表示
9、事件“日销售量不高于50个”， 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”， ，. 5分(3)解：依题意，的可能取值为，且. 6分 ， ， 10分的分布列为01230.0640.2880.4320.216 11分. 12分18. （本小题满分14分）（1）证明：是的中点，且， . 1分 与均是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，. ，平面，平面， 平面. 平面， . 2分 四边形是正方形， . 3分 ，平面，平面， 平面. 平面， . 4分 ，平面，平面， 平面. 5分 平面， . 6分（2）解法1：作于，连接， 平面，平面 . 7分 ，平面，平面， 平
10、面. 8分 平面， . 9分为二面角的平面角. 10分设正方形的边长为，则， 在Rt中， 11分在Rt中，12分在Rt中， . 13分 二面角的平面角的正弦值为. 14分解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴 ， 建立空间直角坐标系，设，则，,.7分，.设平面的法向量为，由 得 8分令 ，得， 为平面的一个法向量. 9分 平面，平面， 平面平面.连接，则. 平面平面，平面， 平面. 10分 平面的一个法向量为. 11分设二面角的平面角为， 则. 12分. 13分 二面角的平面角的正弦值为. 14分19.（本小题满分14分）（1）解：， . 1分当时， 3分得， 4分 数列是首项为，公
11、比也为的等比数列 5分. 6分（2）证明：当时， 7分. 8分由， 10分. 11分 .13分 ， ，即. 14分20（本小题满分14分）（1）解： 椭圆过点， . 1分 ， 2分 3分椭圆的方程为. 4分（2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. 5分直线与椭圆有且只有一个公共点，方程组 （*） 有且只有一组解由（*）得 6分从而,化简得 7分 ，. 9分 点的坐标为. 10分由于，结合式知， . 11分 与不垂直. 12分 点不是线段的中点. 13分 不成立. 14分解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. 5分直线与椭圆有且只有一个公共点，方程组 （*） 有且只有一组解由
12、（*）得 6分从而,化简得 7分 ， 8分由于，结合式知， 设,线段的中点为, 由消去,得.9分 . 10分 若,得 ,化简得,矛盾. 11分 点与点不重合. 12分 点不是线段的中点. 13分 不成立. 14分21. （本小题满分14分）(1)解: 函数的定义域为, , 1分 令, 得, 其判别式, 当,即时, , 此时,在上单调递增; 2分 当, 即时, 方程的两根为,3分 若, 则, 则时, , 时, , 此时, 在上单调递减, 在上单调递增; 4分 若,则, 则时, ,时, , 时, , 此时, 在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增. 5分综上所述, 当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增; 当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增. 6分(2) 解:由(1)可知, 函数有两个极值点,等价于方程在有两不等实根, 故. 7分(3) 证明: 由(1), (2)得, , 且, . 8分 , 9分令, ,则, 10分由于, 则, 故在上单调递减. 11分故. 12分. 13分. 14分
