1、第七节双曲线命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，难度中等本节主要考查考生数形结合思想的运用，提升数学运算、直观想象核心素养授课提示：对应学生用书第184页知识点一双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：（1）在平面内；（2）与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数；（3）非零常数小于|F1F2| 温馨提醒 双曲线定义的四点辨析（1）当02a|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线（2）当2a0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线（3）当2a|F1F2|时，动点的轨
2、迹是以F1，F2为端点的两条射线（4）当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在1过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是（）A28 B148C148 D8解析：根据双曲线定义可知，|PF2|PF1|4，|QF2|QF1|4，所以|PF2|QF2|PQ|8，|PF2|QF2|PQ|2|PQ|8148答案：C2（易错题）平面内到点F1（0，4），F2（0，4）的距离之差等于6的点的轨迹是_解析：由|PF1|PF2|6|F1F2|8，得a3，又c4，则b2c2a27，所以所求点的轨迹是双曲线1的下支答案：双曲线1的下支知识点二双曲线的标
3、准方程和几何性质标准方程1（a0，b0）1（a0，b0）图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1（a，0），A2（a，0）顶点坐标：A1（0，a），A2（0，a）渐近线yxyx离心率e，e（1，）a，b，c的关系c2a2b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 温馨提醒 1双曲线的焦点到其渐近线的距离为b2同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a3若P是双曲线上
4、不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则SPF1F2，其中为F1PF21已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）Axy0 Bxy0Cx2y0 D2xy0答案：A2经过点A（3，1），且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_解析：设双曲线的方程为1（a0），把点A（3，1）代入，得a28（舍负），故所求方程为1答案：1授课提示：对应学生用书第185页题型一双曲线的定义及标准方程1已知双曲线C：1（a0）的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线与直线4x3y0垂直，点M在C上，且|MF2|6，则|MF1|（）
5、A2或14B2C14 D2或10解析：由题意知，故a4，则c5由|MF2|6ac9，知点M在C的右支上，由双曲线的定义知|MF1|MF2|2a8，所以|MF1|14答案：C2（2020高考全国卷）设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为（）A B3C D2解析：法一：由题知a1，b，c2，F1（2，0），F2（2，0），如图，因为|OF1|OF2|OP|2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1PF2，则|PF1|2|PF2|2（2c）216由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|
6、4，所以|PF1|PF2|6，所以PF1F2的面积为|PF1|PF2|3法二：由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|24设点P的坐标为（x0，y0），则解得|y0|所以PF1F2的面积为|F1F2|y0|43答案：B3（2021洛阳模拟）若双曲线1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A（1，4），则|PF|PA|的最小值是（）A8 B9C10 D12解析：由题意知，双曲线1的左焦点F的坐标为（4，0），设双曲线的右焦点为B，则B（4，0），由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号所以|P
7、F|PA|的最小值为9答案：B4已知双曲线过点（2，3），渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程是（）A1 B1Cx21 D1解析：法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程是1（a0，b0），由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21；当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程是1（a0，b0），由题意得无解故该双曲线的标准方程为x21法二：当其中的一条渐近线方程yx中的x2时，y23，又点（2，3）在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是1（a0，b0），由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21答案：C双曲线定义及标准方程问题求解中的两个注意点(1)应用双曲线
8、的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”，若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时注意定义的转化应用(2)求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混题型二双曲线的几何性质双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点常见的命题角度有：（1）已知离心率求渐近线方程；（2）已知渐近线求离心率；（3）由离心率或渐近线求双曲线方程考法（一）已知离心率研究渐近线问题例1已知双曲线1（a0，b0）的离心率e（1，2，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的
9、取值范围是（）ABC D解析因为双曲线1（a0，b0）的离心率e（1，2，所以12，所以14，又c2a2b2，所以03，所以，所以1（a0，b0）经过第一、三象限的渐近线的方程为yx，设该渐近线的倾斜角为，则tan ，又，所以答案C考法（二）已知渐近线求离心率例2（2020高考全国卷）已知F为双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_解析如图，A（a，0）由BFx轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，则kAB3，即b23ac3a2又c2a2b2，即b2c2a2，c23ac2a20，e23e20解得e2或e1（舍去）
10、故e2答案2考法（三）由离心率或渐近线求双曲线方程例3（2021义乌模拟）已知双曲线1（a0，b0）的一个焦点落在直线yx2上，双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（）A1 B1Cx21 Dy21解析依题意得，直线yx2与x轴的交点（2，0）是双曲线的一个焦点，于是有a2b24又双曲线的焦点到渐近线的距离为b1，因此有a23，故双曲线的方程为y21答案D解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点（1）已知渐近线方程ymx，若焦点位置不明确要分|m|或|m|讨论（2）注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用题组突破1（2020高考全国卷）设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：
11、1（a0，b0）的两条渐近线分别交于D，E两点若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（）A4 B8C16 D32解析：双曲线的渐近线方程为yx，分别与xa联立，可得D（a，b），E（a，b），SODEa|DE|a2bab8，c2a2b22ab16当且仅当ab2时，等号成立c2的最小值为16，c的最小值为4，C的焦距的最小值为248答案：B2（2021济南模拟）中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆（x2）2y21都相切，则双曲线C的离心率是（）A2或 B2或C或 D或解析：设双曲线C的渐近线方程为ykx，双曲线的渐近线与圆相切，1，k，则可得双曲线的一条渐近线的方程为yx故需分
12、双曲线的焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论：当双曲线的焦点在x轴上时，有，即ab，e；当双曲线的焦点在y轴上时，有，即ab，e2双曲线C的离心率为或2答案：A3（2021武汉质监）已知双曲线E：1的离心率为，则双曲线E的焦距为（）A4 B5C8 D10解析：因为a4，离心率e，所以c5，所以双曲线的焦距2c10答案：D题型三直线与双曲线的位置关系例已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（4，0），实轴长为4（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：ykx2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围解析（1）设双曲线C的方程为1（a0，b0）由已知得：a2，c4，再由a2b2c2，得b24，所以双曲线
13、C的方程为1（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），将ykx2与1联立，得（13k2）x212kx360由题意知解得k1所以当k1时，l与双曲线左支有两个交点解决直线与双曲线位置关系问题的步骤对点训练（2019高考全国卷）已知双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为解析：法一：由，得A为F1B的中点又O为F1F2的中点，OABF2又0，F1BF290OF2OB，OBF2OF2B又F1OABOF2，F1OAOF2B，BOF2OF2BOBF2，OBF2为等边三角形如图所示，不妨设B为点B在直线yx上，离心率e2
14、法二：0，F1BF290在RtF1BF2中，O为F1F2的中点，|OF2|OB|c如图，作BHx轴于H，由l1为双曲线的渐近线，可得，且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B（a，b），F2（c，0）又，A为F1B的中点OAF2B，c2a，离心率e2答案：2双曲线几何性质的核心素养数学运算、直观想象双曲线的离心率范围问题例（2021黑龙江海林月考）已知双曲线1（a0，b0）若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且3，则双曲线离心率的最小值为（）ABC2 D2解析因为过右焦点F的直线与双曲线相交于A，B两点，且3，所以直线与双曲线相交只能交于左、右两支，且点A在左
15、支上，点B在右支上设A（x1，y1），B（x2，y2），右焦点F（c，0）因为3，所以cx13（cx2），所以3x2x12c因为x1a，x2a，所以x1a，3x23a，所以3x2x14a，即2c4a，所以2，即e2，所以双曲线离心率的最小值为2答案C双曲线离心率的求值及范围问题的解题策略解决双曲线的离心率的范围问题，其关键就是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式建立关于a，b，c的不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等对点训练（2021湖北九校联考）已知F1，F2分别为双曲线1（a0，b0）的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A BC（1，） D（，）解析：双曲线的渐近线方程为yx设直线PF1的方程为yk（xc），因为点P在双曲线的右支上，所以|k|由F2（c，0）到直线PF1的距离da，解得k2，根据k2，得a43b2c2b4，所以a4b4（a2b2）（a2b2）（a2b2）c23b2c2，则a2b23b2，即，所以e21，则e答案：B
