1、数学试题（文科）考试时间：120 分钟满分：150 分一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1 Z M 表示集合 M 中整数元素的个数，设集合18Axx，5217Bxx，则Z AB（）A3B4C5D62已知复数满足，则的共轭复数是（）ABCD3已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，且在0,上单调递增，则（）A0.633log 132fffB0.6332log 13fffC 0.632log 133fffD 0.6323log 13fff4宋代诗词大师欧阳修的卖油翁中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁
2、）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为 2cm，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（）A 25B 425C 25D 16255命题:p,x yR，222xy，命题:q,x yR，|2xy，则 p 是 q 的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C必要充分条件D既不充分也不必要条件6已知数列 na中，11a ，1nnaan，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第 2020 项，则判断框内的条件是（）A2018?nB2019?nC2020?nD2021?n7函数2sin()2xf xxxx的大致图象为（）A
3、BCD8若函数 sinf xAx(其中0A，2)图象的一个对称中心为 ,03，其相邻一条对称轴方程为712x，该对称轴处所对应的函数值为 1，为了得到 cos2g xx的图象，则只要将 f x 的图象（）A向右平移 6 个单位长度B向左平移 12 个单位长度C向左平移 6 个单位长度D向右平移 12 个单位长度9已知 AB 是圆22:11Cxy 的直径，点 P 为直线10 xy 上任意一点，则PA PB 的最小值是（）A1B0C 2D 2 110圆锥 SD（其中 S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是 2:1，则圆锥 SD与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（
4、）A 9:32B8:27C9:22D 9:2811已知直线0ykx k与双曲线222210,0 xyabab交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F，若ABF的面积为24a，则双曲线的离心率为（）A2B3C2D512若对于任意的120 xxa，都有211212lnln1xxxxxx，则a 的最大值为（）A 2eBeC 12D1二.填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.）13某校高三科创班共 48 人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按 1 至 48的学号用系统抽样方法抽取 8 人进行调查，若抽到的最大学号为 48，则抽到的最小学号为_14在A
5、BC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若2 7b，3c，2BC，则 cos 2C 的值为15正四棱锥 SABCD底面边长为 2，高为1，E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥表面上运动，并且总保持0PE AC，则动点 P 的轨迹的周长为16 定义在 0,上的函 数 f x 满足 0f x，fxf x为的导函 数，且 23fxxfxfx对0,x 恒成立，则 23ff的取值范围是三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17（本小题 12 分）在公差为 d 的等差数列 na中，221212aaaa（1）求 d 的取值范围；（2）已知1d
6、 ，试问：是否存在等差数列 nb，使得数列21nnab的前 n 项和为1nn？若存在，求 nb的通项公式；若不存在，请说明理由18（本小题 12 分）如图，多面体 ABCDEF 中，ABCD 是菱形，60ABC，FA 平面 ABCD，/EDFA，且22ABFAED（1）求证：平面 FAC 平面 EFC；（2）求多面体 ABCDEF 的体积19（本小题 12 分）某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表日用水量0,0.10.1,0.20.2,0.30.3,0.40.4,0.
7、50.5,0.60.6,0.7频数13249265使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表日用水量0,0.10.1,0.20.2,0.30.3,0.40.4,0.50.5,0.6频数151310165（1）在下图中作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）20（本小题 12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab，点1,e 和22,2都在椭圆C 上，其中 e为椭圆 C 的离心率（1）求椭圆
8、 C 的方程；（2）若过原点的直线 1:lykx与椭圆 C 交于 A，B 两点，且在直线 22:20lkxyk上存在点 P，使得PAB是以 P 为直角顶点的直角三角形，求实数 k 的取值范围21（本小题 12 分）已知函数 21ln2f xxxax aR，23e2xg xxx（1）讨论 f x 的单调性；（2）定义：对于函数 f x，若存在0 x，使00f xx成立，则称0 x 为函数 f x 的不动点如果函数 F xf xg x存在不动点，求实数 a 的取值范围请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22（本小题 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直
9、角坐标系 xOy 中，曲线1C 的方程为cossinxy（为参数）以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos（1）求1C，2C 交点的直角坐标；（2）设点 A 的极坐标为 4,3，点 B 是曲线2C 上的点，求AOB面积的最大值23.（本小题 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 121f xxx（1）解不等式 2f xx；（2）若 3231g xxmx，对1xR，2xR，使 12f xg x成立，求实数 m的取值范围一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案CBCDABDBAADD1【解
10、答】1,8A ，5 17,22B，5,82AB，5Z AB 故选 C2【解答】由1 2i43iz，得43i2i1 2iz，所以2iz 故选 B3【解 答】根 据 题 意，函 数 f x 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，则 33ff，33log 13log 13ff，有0.63322log 13log 273，又由 f x 在0,上单调递增，则有 0.632log 133fff，故选 C4【解答】由题2525=24S圆，=4S正方形，所以1625SPS正方形圆故选 D5【解答】在平面直角坐标系中作出满足,p q 的区域，如图所示，则 p 是 q 的充分不必要条件故选 A6【解答】由递推式
11、1nnaan，可得11nnaan，122nnaan，322aa，211aa.将以上1n 个式子相加，可得1 1231nan ，则20201 1232019a .由程序框图可知，当判断框内的条件是*?nkk N时，则输出的1 1 23Sk ，.综合可知，若要想输出式的结果，则2019k 故选 B7【解答】1sin1 12sin1 10f ，排除 B，C，当0 x 时，sin0 xx，则0 x 时，sin1xx，101f x ，排除 A，故选 D8【解答】根据已知函数 sinf xAx(其中0A，2)的图象过点 ,03，7,112，可得1A ，1 274123，解得2 再根据五点法作图可得 23，
12、可得3，可得函数解析式为 sin 23f xx，故把 sin 23f xx的图象向左平移 12 个单位长度，可得sin 2cos236yxx的图象，故选 B9【解答】如图所示，2214PA PBPCCBPCCAPCAB，所以 PA PB 取最小值时，即 PC 取最小值，即 PC 与直线10 xy 垂直，此时1 0 1=22PC，则min12414PA PB 故选A10【解答】设圆锥底面圆的半径为 r，圆锥母线长为l，则侧面积为 rl，侧面积与底面积的比为22rllrr，则母线2lr，圆锥的高为223hlrr，则圆锥的体积为231333r hr，设外接球的球心为 O，半径为 R，截面图如图，则
13、OBOSR，3ODhRrR，BDr，在直角三角形 BOD 中，由勾股定理得222OBODBD，即2223RrrR，展开整理得23Rr，外接球的体积为33344832333 39 3rRr，故所求体积比为333 9332329 3rr故选 A11【解答】由题意可得图像如右图所示：F 为双曲线的左焦点，AB 为圆的直径，90AFB，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形 AFBF 为矩形，12ABFAFBFFAFSSS，又2224tan45FAFbSba，可得225ca，255ee故选D12【解答】由120 xx，得120 xx，211212lnln1xxxxxx化为211212lnlnxxxxxx，
14、即1212ln1ln1xxxx，即函数 ln1xfxx在0,a 上单调递增，221ln1lnxxxxfxxx ，令 0fx，得01x，故 a 的最大值为 1故选 D二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13614 5915231684,27 913【解答】由系统抽样方法从学号为 1 到 48 的 48 名学生中抽取 8 名学生进行调查，把48 人分成 8 组，抽到的最大学号为 48，它是第 8 组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6 号故答案为 614【解答】由正弦定理可得：sinsinbcBC，即sinsin 22sincos2 772coscossinsi
15、nsin33bBCCCCCcCCC，275cos22cos12199CC 15【解答】如图所示，取 SC，DC 的中点 M，F，则/EF BD，/ME SB，所以平面/SBD平面 MEF，而 AC 平面 SBD，所以 AC 平面 MEF，则动点 P 在四棱锥表 面 上 运 动 的 轨 迹 为 MEF，则 动 点 P 的 轨 迹 的 周 长 为11 2 23322MFESDBll2316【解答】由 2 f xxfx，得 22220fx xxfxx，令 2f xg xx，则 22220fx xxfxgxx，所以 g x 在0,上单调递增，得 32gg，即 222323ff，得 2439ff.由 3
16、xfxf x，得 322330fx xx f xx，令 3f xh xx，则 322330fx xx fxh xx，所以函数 h x 在0,上单调递减，得 32hh，即 332323ff，得 28327ff.综上所述，2842739ff故填84,27 9三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.)17（本小题满分 12 分）【解答】（1）221212aaaa，221112aadad，整理得22112210adadd，2 分则224180ddd，解得 11d，则 d 的取值范围为1,15 分（2）1d ，2112420aa，即11a ，则2nan6 分假设存在等差数列 nb，则2112211
17、221121123ababab，即12111211223bb，解得1216bb，从而54nbn，8 分此时2211111nnnnabnn，9 分222112211111111111223111nnnnnnnababab ，11 分故存在等差数列 nb，且54nbn，使得数列21nnab的前 n 项和为1nn 12分18（本小题满分 12 分）【解答】（1）证明：连接 BD 交 AC 于O，设 FC 中点为 P,连接OP,EPO,P 分别为 AC,FC 的中点/OPFA,且12OPFA/OPED且OPED四边形OPED 为平行四边形/ODEP,即/BDEP2 分FA 平面 ABCD，BD 平面
18、ABCDFABD3 分四边形 ABCD 是菱形BDAC4 分FAACABD 平面 FAC，即 EP 平面 FAC 5 分又 EP 平面 EFC平面 FAC 平面 EFC6 分（2）1132 34 23343FABCABCVSFA 8 分平面 ADEF 平面 ABCDC到平面的距离为332 CD 9 分12213332C ADEFV 11 分5 33ABCDEFFABCCADEFVVV12 分19（本小题满分 12 分）【解答】（1）频率分布直方图如下图所示：4 分（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50 天日用水量小于30.35m 的频率为0.2 0.1 1 0.12.6 0.12 0.0
19、50.48 ；因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.35m 的概率的估计值为 0.48；7 分（3）该家庭未使用节水龙头50 天日用水量的平均数为110.05 10.15 30.25 20.35 40.45 90.55 260.65 50.4850 x 9 分该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为210.05 10.15 50.25 130.35 100.45 160.55 50.3550 x 11 分估计使用节水龙头后，一年可节省水30.480.3536547.45 m12分20.(本小题满分 12 分)【解答】（1）由题设知222abc，cea由点1,e 在椭圆上，得222
20、211caa b，解得21b ，又点22,2在椭圆上，222112ab 即21112a，解得24a，所以椭圆的方程是2214xy 4 分（2）【法 1】设11,A x y、22,B xy，由2214ykxxy，得22414xk，120 xx，1 22414x xk，120yy，2122414ky yk，6 分设00,P xy，则0022ykxk，依题意 PAPB，得1PAPBkk，010201021yyyyxxxx，即2201201201 20120yyyyy yxx xxxx，8 分2200121 20yxy yx x，22220024 114422014kkxk kxkk有解，222222
21、4 11624 142014kkkkkk，10 分化简得2340kk，0k或43k 12 分【法 2】设11,A x y、22,B xy，由2214ykxxy，得22414xk，不妨设12241xk，22241xk 则221224 1141kABkxxk7 分设原点O 到直线 2l 的距离为 d，则2241kdk8 分若存在满足条件的点 P，则以 AB 为直径的圆与 2l 有公共点，故2ABd 即22222 14141kkkk，10 分化简得2340kk，0k或43k 12 分21.(本小题满分 12 分)【解答】（1）f x 的定义域为0,，210 xaxfxxx，1 分对于函数210yxa
22、x，当240a时，即 22a 时，210 xax 在0 x 恒成立 210 xaxfxx在0,恒成立，f x在0,为增函数；2 分当0，即2a 或2a 时，当2a 时，由 0fx，得242aax 或242aax，2244022aaaa ，f x在240,2aa 为增函数，2244,22aaaa 减函数，24,2aa 为增函数，4 分当2a 时，由 210 xaxfxx在 0,恒 成 立，f x在 0,为 增 函数5 分综上，当2a 时，f x 在240,2aa 为增函数，2244,22aaaa 减函数，24,2aa 为增函数；当2a 时，f x 在0,为增函数（2）22213lnelne022
23、xxF xf xg xxxaxxxxxaxxx，F x存在不动点，方程 F xx有实数根，即2lnexxxax有解，7 分令 2n0elxxxh xxx，2211ln1ln11eexxxxxxxxxh xxx，8 分令 0h x，得1x ，当0,1x时，0h x，h x 单调递减；当1,x 时，0h x，h x 单调递增，10 分 1e1h xh，11 分当e1a 时，F x 有不动点，a的范围为e1,12 分22.（本小题满分 10 分）【解答】（1）2211:Cxy，1 分22:cosC，22 cos，222xyx3 分联立方程组得222212xyxyx，解得111232xy，221232
24、xy，所求交点的坐标为 13,22，13,225 分（2）设,B ，则2cos6 分AOB的面积11sin4 sin4cos sin2233SOAOBAOB2cos 236，8 分当1112 时，max23S10 分23.（本题满分 10 分）【解答】（1）不等式等价于132xxx 或11222xxx 或1232xxx，3 分解得 x 或102x或 112x，所以不等式 2f xx的解集为01xx5 分（2）由 3,112,1213,2xxf xxxxx 知，当12x 时，min1322f xf；7分 323121g xxmxm，8 分当且仅当32310 xmx时取等号，所以3212m，解得1544m故实数 m 的取值范围是1 5,4 410 分
