1、2003年福建省重点中学高三数学质量检查试题说明：本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式S台侧=（c+c）l其中c、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式V台体=（S+S）h其中S、S分别表示上、下底面积，h表示高第卷(选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.的值等于A.- B.- C. D.2.设复数的辐角主值为，则复数1-3i的辐角主值是A.+ B.- C. + D.2-3.已知直线l1、
2、l2和平面，下列四个命题中正确的是A.BCl1、l2与所在的角相等l1l2D4设三条直线l1:2x+1=0,l2:mx+y=0,l3:x+my-1=0中有两条直线平行，则m所有可能的值有A2个 B.3个 C.4个 D.5个5.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱A1D1上一点，F为棱AB的中点，则三棱锥FACE体积与正方体体积之比等于A. B. C. D.6.已知函数y=f(x)的图象如图，函数y=g(x)的图象如图则函数y=f(x)g(x)的图象大致是7.已知函数f(x)=,则它的反函数f-1(x)A.在（-,-2）和在（-2，+）都是减函数B.在（-，3）和在（3，+）都是减函数C.在
3、（-，-2）和在（-2，+）都是增函数D.在（-，3）和在（3，+）都是增函数8.（理）不等式组有解，则实数a的取值范围是A（-1，3） B.（-3，1）C.（-,-1）(3,+) D.(-,-3)(1,+)（文）若点P在直线2x+y+10=0上，直线PA、PB分别切圆x2+y2=4于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为A.24 B.16 C.8 D.49.设函数f(x)=Asin(wx+)(A0,w0,-)的图象关于直线x=对称，它的周期是，则A.f(x)的图象过点（0，）B.f（x）在上是减函数C.f(x)的一个对称中心是点（，0）D.f(x)的最大值为A10.(理)在极坐标系中，直
4、线cos(-与=2cos的位置关系是A.相离 B.相切C.相交但直线不过圆心 D.直线过圆心（文）某商品的价格1999年比1997年上涨25%，由于市场供求关系的变化，2001年该商品的价格仅比1997年上涨10%，那么2001年该商品的价格比1999年下降A.15% B.12% C.10% D.5%11.（理）某公司从2000年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施项目计算方法基础工资2000年1万元，以后每年逐增10%住房补贴按工龄计算：400元工龄医疗费每年1600元固定不变若该公司某职工在2002年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2002年底这位职工的工龄
5、至少是A.2年 B.3年 C.4年 D.5年（文）不等式组有解，则实数a的取值范围是A.（-1，3） B.（-3，1）C.（-,-1）(3,+) D.(-,-3)(1,+)12.已知函数y=f(x)(xR)满足f(x+1)=f(x-1)，且x-1，1时，f(x)=x2,则y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为A.2 B.3 C.4 D.5第卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.(理)已知等比数列an的公比大于1，且a7a11=6,a4+a14=5,则=_.（文）（x4+的展开式中的常数项是第_项.14.直线y=2x-4过椭
6、圆=1的左焦点，则椭圆的右准线方程是_.15.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，BC=CA，AB=BC，点A1在底面ABC上的射影O在AC上，则AB与侧面ACC1A1所成的角等于_.16.某校拟成立一个由6名学生组成的社会调查小组，现将这6个名额分配给高一、高二、高三这三个年段，要求每个年段至少有一名学生参加，则不同的名额分配方法共有_种（用数字作答）.三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）（理）设z1=m+(2-m2)i,z2=cos+(+sin)i,其中m、R，已知z1=2z2,求的取值范围.（文）在ABC中，三个内角A、
7、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A、B、C成等差数列，a+b-2c=0.求sinC的值.18.（本小题满分12分）已知圆柱的侧面积为16，体积为80.（）求圆柱的底面半径r和高h;()如图，设平面与圆柱上下两底面的圆周交于点A、B、C、D，且四边形ABCD恰好是正方形，求平面与底面所成的二面角的大小.19.（本小题满分12分）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1,且满足3Sn2=an(3Sn-1)(n2).()求证：是等差数列；（）设bn=,数列bn的前n项和为Tn，求.20.（本小题满分12分）（理）如图，某工厂要建造一个横断面为等腰梯形的排水槽.若要求水槽的深为h，横断面梯形的面积
8、为s，单位面积的槽壁与槽底的造价分别为a和a(其中h、s、a均为常量)，问为使单位长度的水槽的造价最小，下底外角应是多少？（文）某商场经营一批进价是30元/台的小商品在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y台之间有如下关系：x35404550y57422712（）在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x、y）的对应点，并确定x与y的一个函数关系式y=f(x); ()设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 21.（本小题满分12分）（理）如图，已知线段AB在直线y=-2上移动，AOB=（O为
9、坐标原点）.（）求AOB外心的轨迹方程；（）设直线OA与（）中的轨迹相交于C、D两点，=-4，求OA所在直线的方程. （文）如图，已知线段AB在直线y=-2上移动，|AB|=4，O为坐标原点.（）求AOB外心的轨迹方程.（）设直线OA与（）中轨迹相交于C、D两点，=-3，求OA所在直线的方程.22.（本小题满分14分）（理）设f(x)=ax2+bx+c(abc),f(1)=0,g(x)=ax+b.()求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；（）设f(x)与g(x)的图象的交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求|A1B1|的取值范围；（）求证：当x-时，恒有f(x)g(x).（文
10、）设f(x)=ax2+bx+c(abc),f(1)=0,g(x)=ax+b.（）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；（）求证：-2;（）设f(x)与g(x)的图象的交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求|A1B1|的取值范围.2003年福建省重点中学高三数学质量检查试题答案一、1.B 2.A 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.(理)A (文)C 9.C 10.B 11.(理)C (文)A 12.C二、13 .(理) (文)7 14.x= 15. 45 16. 1017.(理)解法一：z1=2z2m+(2-m2)i=2cos+(2+2sin)i 2分 4分2-4co
11、s2=2+2sin 6分=1-2cos2-sin=2sin2-sin-1=2(sin-)2-. 8分当sin=时取最小值-，当sin=-1时取最大值2 10分的取值范围是-，2 12分解法二：z1=2z2 4分 + =1 6分m4-(3-4)m2+42-8=0设t=m2,则0t4，令f(t)=t2-(3-4)t+42-8依题意，有或f(0)f(4)0或02 8分-0或02 10分的取值范围是-，2 12分(文)解法一：A、B、C成等差数列，2B=A+CA+B+C=180B=60,A+C=120 3分又a+b-2c=0,由正弦定理，得sinA+sinB-2sinC=0 5分sin(120-C)+
12、 sin60=2sinC.sinC-cosC= 7分sin(C-30)=,0C120即-30C-3090C-30=45,C=75 10分sinC=sin75= 12分解法二：同解法一得sinC-cosC=,即cosC=sinC- 7分又sin2C+cos2C=1 把代入得：4sin2C-2sinC+1=0,sinC= 10分又由已知有：sinC=sinB+sinA=+sinA.sinC=不合题意，舍去sinC= 12分18.()依题意，得, 4分()令与底面所成二面角为若与底面垂直，当AB=BC=4时，ABCD为正方形，这时= 6分若与底面所成二面角为锐角，设下底面圆心为O，作AE面BOC于E
13、，则E必在圆周上，连结EB、ECABBC，EBBC从而ABE就是平面与底面所成二面角的平面角，即ABE= 7分又EC必过圆心O，在RtAEB中，EB=4ctg,AB=BC=在RtEBC中，(4)2=(4ct)2+()25=ct2+1+ct2ct=,=arcct. 10分综上，平面与底面所成二面角为或arcct或-arcct 12分19.解：()an=Sn-Sn-1(n2),3S=an(3Sn-1),(n2)3S=(Sn-Sn-1)(3Sn-1) 2分3SnSn-1=Sn-1-Sn- =3(n2) 4分 是以3为公差的等差数列 6分()a1=1,=1,=1+(n-1)3=3n-2 Sn= 8分b
14、n=(-) 10分Tn= (1-)Tn= 12分20.(理)解法一：设AD=BC=x,DC=y，单位长度的水槽造价为P则P=a2x1+ay1=2ax+ay 3分s=(y+hctg)h y=-hctg又x= P=+a(-hctg)= +ah(-ctg)= + 6分故欲使P最小，只须m=为最小而m= =+tg 10分当且仅当=tg 即tg=时，等号成立当=2arctg时，单位长度的水槽造价最小. 12分解法二：同解法一得m=,msin+3cos=4 6分sin(+)= (其中tg=,为锐角)1得m或m-(不合题意，舍去) 10分当m取最小值时，sin(+)=1.=-,即=-arctg=-arctg
15、时，单位长度的水槽造价最小 12分 (文)解：()图象如图 2分从图象发现：(35，57)，(40，42)，(45，27)，(50，12)似乎在同一直线上，为此假设它们共线于直线l:y=kx+b.先由(50，12)，(40，42)确定出l的解析式y=162-3x. 4分再通过检验知道，点(45，27)，(35，57)也在此直线上x与y的一个函数关系式为y=162-3x. 6分()依题意有：P=xy-30y 8分=x(162-3x)-30(162-3x)=-3(x-42)2+432. 10分当x=42时，P有最大值是432.即销售单价为42元时，才能获得最大日销售利润. 12分21.(理)解法一
16、：()设AOB外心为点M(x,y)，作MNAB于N连结MA，由平面几何知识，得AMN= 2分在RtAMN中，cos=即=.整理，得(y+4)2-x2=8 4分所以所求的轨迹方程是(y+4)2-x2=8(y2-4). 6分()设直线OA方程为y=kx(k1)，C、D的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)将y=kx代入方程(y+4)2-x2=8，得(kx+4)2-x2=8.(k2-1)x2+8kx+8=0.=-4,=-3=-3 即x2=-3x1 8分 解得k2= 11分当OA方程是y=-x时，不满足AOB=且AB在直线y=-2上，故应舍去所求直线OA的方程为y=x 12分解法二：()设M、A、
17、B的坐标分别为M(x,y)、(a,-2)、(b,-2)当ab0时，AOB=45，根据两条直线的夹角公式，得=1,化简为|2(b-a)|=|4+ab| 2分又M为AOB的外心，则|MA|=|MB|=|MO|x2+y2=(x-a)2+(y+2)2=(x-b)2+(y+2)2 4分由，得4(a+b)2-4ab=(ab+4)2 将、代入整理，得(y+4)2-x2=8.当ab=0时，点M的坐标为(1,-1)或(-1，-1)适合上式所求的轨迹方程(y+4)2-x2=8(y-4+2) 6分()=-4 =-3|OD|=3|OC|设直线OA方程为x=ty(y1),C、D两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2
18、)又()中双曲线的准线方程是y=-2，焦点是原点，离心率为(y2+2)=3(y1+2)y2=3y1+4 8分将x=ty代入()中方程，整理得(1-t2)y2+8y+8=0y1+y2= y1y2= 10分以上各式消去y1,y2,得t4-6t2-7=0.(t2-7)(t2+1)=0t= (t=-舍去).所求直线OA方程为y=x 12分 (文)()设AOB外心为M(x,y)作MNAB于N，连结MA，在M中依垂径定理，得|AN|=|AB|=2 2分又|MA|=|OM|=|MN|=|y+2| 4分在RtAMN中，由勾股定理得x2+y2=4+(y+2)2,x2=4y+8 6分JB()设C、D的坐标分别为(
19、x1,y1),(x2,y2)，直线OA方程为y=kx 由、得，x2-4kx-8=0 8分=-3，x2=-3x1 10分k2=,k=.所求直线OA的方程为y=x. 12分22.(理)()证明：由,得ax2+(b-a)x+(c-b)=0 其判别式为：=(b-a)2-4a(c-b).f(1)=0,即a+b+c=0,且abc,0函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点 4分()解：设方程的两根为x1、x2,则x1+x2=,x1x2=而|A1B1|=|x1-x2|= 5分= =. 7分 1,即1-1- 8分-2- (-2)2-412|A1B1|2.即|A1B1|的取值范围是(，2) 10分()证法
20、一：令F(x)=f(x)-g(x),要证f(x)g(x),只要证F(x)0F(x)=(ax2+bx+c)-(ax+b)=ax2-(a-b)x+c-b.函数y=F(x)图象的对称轴方程为x=.a0,ab 0.设F(x)=0的两根为x1、x2，且x1x2.由()得x2-x120-x1 12分-x1当x-时，xx1a0,F(x)在(-, )递减F(x)F(x1)=0，即F(x)0. 14分f(x)g(x).证法二：令F(x)=f(x)-g(x)F(x)=ax2-(a-b)x+c-b=ax2-(2a+c)x+(a+2c)x-x23且-x1又2a+c0-x(2a+c)2a+c 12分F(x)ax2+(2
21、a+c)+(a+2c)3a+(2a+c)+(a+2c)=3(2a+c)0f(x)g(x) 14分(文)()证明：由,得ax2+(b-a)x+(c-b)=0 2分其判别式为：=(b-a)2-4a(c-b).f(1)=0,即a+b+c=0,且abc,0故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点4分 ()证明：(方法一)abca+2ca+b+c2a+c6分又a+b+c=0,a01+02+-2-8分(方法二)abc且知a+b+c=0a0,b=-a-c1 6分1-1-.-2-8分()解：设方程两根为x1、x2，则且x1+x2=,x1x2=,|A1B1|=|x1-x2|=10分又b=-a-c,|A1B1|=12分由()知-2-()2-412 |A1B1|2.即|A1B1|取值范围为(，2)14分