1、第二节两直线的位置关系命题分析预测学科核心素养本节内容单独考查较少，多与其他知识交汇考查常涉及充要条件、直线与圆锥曲线的位置关系等内容，多为选择题通过两直线的位置关系、对称问题的考查，提升数学运算核心素养授课提示：对应学生用书第167页知识点一两直线的位置关系1两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行（2）两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2k1k21，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直2两直线相交直线l
2、1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解 温馨提醒 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况1已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2xy10平行，则实数m的值为（）A0B8C2 D10解析：由题意知2，解得m8答案：B2已知P（2，m），Q（m，4），且直线PQ垂直于直线xy10，则m（）A1 B2C3 D4解析：由题意知1，所以m42m，所以m1答案：A3（易错题）直线2x（m
3、1）y40与直线mx3y20平行，则m（）A2 B3C2或3 D3解析：直线2x（m1）y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3答案：C知识点二距离公式1两点间的距离公式平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式为|P1P2|特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离|OP|2点到直线的距离公式平面上任意一点P0（x0，y0）到直线l：AxByC0的距离d3两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d 温馨提醒 运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错1已
4、知点（a，2）（a0）到直线l：xy30的距离为1，则a（）A1B1C2D2解析：由题意得1，解得a1或a1因为a0，所以a1答案：A2直线2x2y10，xy20之间的距离是（）A B C D解析：先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d答案：B授课提示：对应学生用书第168页题型一两直线的位置关系1（2021济南模拟）“m3”是“直线l1：2（m1）x（m3）y75m0与直线l2：（m3）x2y50垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：由l1l2得，2（m1）（m3）2（m3）0，解得m3或m2所以m3是l1l2的充分不必要条件答案：A
5、2（2021衡水中学一调）直线l1：（3a）x4y53a和直线l2：2x（5a）y8平行，则a（）A7或1 B7C7或1 D1解析：由题意，得解得a7答案：B3（2021洛阳统一考试）已知b0，直线（b21）xay20与直线xb2y10垂直，则ab的最小值为（）A1 B2C2 D2解析：由已知两直线垂直可得，（b21）ab20，即ab2b21，又b0，所以abb由基本不等式得b22，当且仅当b1时等号成立，所以（ab）min2答案：B两直线位置关系的三种判断方法方法平行垂直适合题型化成斜截式k1k2，且b1b2k1k21斜率存在一般式设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l
6、1l2A1B2A2B10，且B1C2B2C10设直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20无限制直接法k1与k2都不存在，且b1b2k1与k2中一个不存在，另一个为零k不存在题型二距离问题1（2020高考全国卷）点（0，1）到直线yk（x1）距离的最大值为（）A1BC D2解析：设点A（0，1），直线l：yk（x1），由l过定点B（1，0），知当ABl时，距离最大，最大值为答案：B2过点P（3，1）引直线，使点A（2，3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为（）Ax3 B4xy130C4xy130 Dx3或4xy130解析：若直线的斜率不存在
7、，则其方程为x3，满足条件；若直线的斜率存在，设其方程为y1k（x3），即kxy3k10，由题意得，解得k4，此时直线方程为4xy130，综上，直线的方程为x3或4xy130答案：D3（2021厦门模拟）若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则c的值是（）A2 B2C2或6 D6解析：依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间的距离为，所以，解得c2或6答案：C4（2021广州模拟）已知点P（4，a）到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是（）A0，10 B（0，10）C0，5 D5，10解析：由题意得，点P到直线的距离为又3，即|15
8、3a|15，解得0a10，所以a的取值范围是0，10答案：A距离问题的常见题型及解题策略（1）求两点间的距离关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等（2）解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在（3）求两条平行线间的距离要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题题型三对称问题对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型常见的命题角度有：（1）点关于点对称；（2）点关于线对称；（3）线关于线对称考法（一）点关
9、于点对称例1过点P（0，1）作直线l使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析设l1与l的交点为A（a，82a），则由题意知，点A关于点P的对称点B（a，2a6）在l2上，把B点坐标代入l2的方程得a3（2a6）100，解得a4，即点A（4，0）在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为：x4y40答案x4y40点P（x，y）关于O（a，b）的对称点P（x，y）满足考法（二）点关于线对称例2（2021长沙一调）已知入射光线经过点M（3，4），被直线l：xy30反射，反射光线经过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程为_解析设点M（3，4）关于直线
10、l：xy30的对称点为M（a，b），则反射光线所在直线过点M，所以解得又反射光线经过点N（2，6），所以所求直线的方程为，即6xy60答案6xy60解决点关于直线对称的问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直考法（三）线关于线对称例3已知直线l：xy10，l1：2xy20若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是（）Ax2y10Bx2y10Cxy10 Dx2y10解析由得交点（1，0），取l1上的点（0，2），其关于直线l的对称点为（1，1），故直线l2的方程为，即x2y10答案B线关于线的对称的求解方法（1）若直线与对称轴平行，则在直线上取一
11、点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解（2）若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴对称的对称点，最后由两点式求解对点训练已知直线l：2x3y10，点A（1，2）求：（1）点A关于直线l的对称点A的坐标；（2）直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；（3）直线l关于点A（1，2）对称的直线l的方程解析：（1）设A（x，y），由已知得解得所以A（2）在直线m上取一点，如M（2，0），则M（2，0）关于直线l的对称点M必在直线m上设M（a，b），则解得M设直线m与直线l的交点为N，则由得N（4，3）又因为m经过点N（4，3），所以由两点式得直线m的方程为9
12、x46y1020（3）设P（x，y）为l上任意一点，则P（x，y）关于点A（1，2）的对称点为P（2x，4y），因为P在直线l上，所以2（2x）3（4y）10，即2x3y90两直线位置关系应用中的核心素养数学运算直线系方程的应用1平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系例1求与直线3x4y50平行且过点（2，3）的直线l的方程解析依题意，设所求直线方程为3x4yC10（C15），因为直线过点（2，3），所以3243C10，解得C118因此，所求直线方程为3x4y180先设与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC1
13、0（C1C），再由其他条件求C12垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解例2求经过A（2，4），且与直线2xy10垂直的直线l的方程解析因为所求直线与直线2xy10垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点A（2，4），所以有224C10，解得C16，所以所求直线方程为x2y60先设与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10，再由其他条件求出C13过直线交点的直线系例3过直线x2y10与直线2xy10的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_解析设
14、所求直线方程为x2y1（2xy1）0，当直线过原点时，10得，1，此时所求直线方程为x3y0；当直线不过原点时，令x0，得y，令y0，得x由题意得，解得或1（舍）此时所求直线方程为5x5y40综上所述，所求直线方程为x3y0或5x5y40答案x3y0或5x5y40过直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20交点的直线系方程为A1xB1yC1（A2xB2yC2）0（为参数），其中不包括直线l24过定点的直线系例4直线（m1）x（m3）y（m11）0（m为常数）恒过定点的坐标为_解析法一：将方程变为x3y11m（xy1）0，由得故直线恒过定点法二：分别令m1，m3，得所以故直线恒过
15、定点答案1过定点（x0，y0）的直线系方程为yy0k（xx0）（k为直线的斜率）或A（xx0）B（yy0）0（A、B不同时为0）2求直线系过定点问题的常用方法恒等式法：将直线方程化为参数的恒等式形式，利用参数取值的任意性，得关于x，y的方程组求出定点坐标特殊直线法：给出任意两个参数值，得到两条直线，求其交点即为定点题组突破1与直线x2y30平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是_解析：设所求直线方程为x2y0，令x0，得y；令y0，得x由题意，得|4，解得4故所求直线方程为x2y40答案：x2y402直线mxym10（m为参数）经过定点的坐标为_解析：法一：（恒等式法）直线方程化为m（x1）y10，由得x1，y1故直线mxym10过定点（1，1）法二：（特殊直线法）取m0，得y1，取m1，得xy20，由得x1，y1故直线mxym10过定点（1，1）答案：（1，1）3过直线x2y40和直线xy20的交点，且与直线3x4y50垂直的直线方程为_解析：设所求直线方程为x2y4（xy2）0，即（1）x（2）y（42）0，则其斜率k，由题意可知，1，解得11故所求直线方程为4x3y60答案：4x3y60