1、二、正弦定理(15分钟30分)1.在ABC中,已知a=8,B=30,b=4,则c=()A.B.2C.3D.4【解析】选D.由正弦定理,可得=,即sin A=1,因为0Ac,所以AC,即0C90,所以C=30.2.在ABC中,若2a=b+c,sin2A=sin Bsin C,则ABC一定是()A.钝角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.非等腰三角形【解析】选B.由正弦定理得,a2=bc,由a=,得=bc,整理得(b-c)2=0,所以b=c,因为a=,所以a=b=c,所以ABC为等边三角形.3.在ABC中,若a=2,A=30,则的值为()A.4B.2C.4D.2【解析】选A.由题可知,a=2
2、,A=30,而=2R=4,即=4.4.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b=12,A=60,B=45,则a=.【解析】在ABC中,因为A=60,B=45,由正弦定理=,可得=,解得b=a,又因为a+b=12,即a+a=12,解得a=36-12.答案:36-125.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量m=(a+b,sin C), n=(a+c,sin B-sin A),若mn,则角B的大小为.【解析】因为mn,所以(a+b)(sin B-sin A)-sin C(a+c)=0,由正弦定理化简得(a+b)(b-a)-c(a+c)=0,整理得a2+c2-b
3、2=-ac,所以cos B=-,因为0B,所以B=.答案:6.已知在ABC中,A=,a=13,c=15.(1)求sin C;(2)若ABC是钝角三角形,求ABC的面积.【解析】(1)在ABC中,根据正弦定理得=,则=,所以sin C=.(2)因为a2=b2+c2-2bccos A,所以132=b2+152-2b15.解得b=8或b=7.当b=7时,cos C=-0.此时C为锐角,不满足题意,所以ABC的面积为.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知ABC中,A=45,a=1,若ABC仅有一解,则b()A.B.(,+)C.(0,1D.(0,1)【解析】选C.由题中已知ABC
4、中A=45,a=1,则c边上的高线长可表示为bsin 45=b,因为三角形形状唯一,所以ABC为直角三角形或钝角三角形,则a=b或ab0,所以b=a=或0b1.2.在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,若2asin B=b,则角A等于()A.B.C.D.【解析】选A.因为2asin B=b,由正弦定理可得:2sin Asin B=sin B,又sin B0,所以sin A=.因为ABC为锐角三角形,所以A=.3.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则角A为()A.30B.60C.120D.150【解析】选A.因为sin C=
5、2sin B,所以c=2b,结合a2-b2=bc,可得a2=7b2,所以cos A=,因为0A180,所以A=30.4.在ABC中,lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A),则ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为lg(sin A+sin C)=lg,所以sin2C-sin2A=sin2B,结合正弦定理得c2=a2+b2,所以ABC为直角三角形.【误区警示】本题容易因对数运算公式遗忘从而造成计算出错.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知A
6、BC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A=60,b=2,c=+1,则下列说法正确的是()A.C=75或C=105B.B=45C.a=D.该三角形面积为【解析】选BC.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=4+4+2-22(+1)=6,所以a=.由正弦定理=,所以sin B=,由于0B120,所以B=45,C=180-A-B=75.ABC的面积S=bcsin A=2(+1)=.6.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,C=45,c=,a=x,若满足条件的三角形有两个,则x的值可能为()A.1B.1.5C.1.8D.2【解析】选BC.在ABC中,由C=45,c=
7、,a=x,则asin C=xsin 45=x,要使得三角形有两个,则满足xcx,即xx,解得x2,即x的取值范围是,结合选项BC正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=,=-2,且满足sin A+sin C=2sin B,则该三角形的外接圆的半径R为.【解题指南】根据向量的数量积的运算,求得ac=4,由正弦定理和余弦定理,列出方程求得a+c=4,进而得到b=2,再利用正弦定理,即可求解球的半径.【解析】由题意,因为=accos(-B)=-ac=-2,所以ac=4.由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B,又因为sin A+sin
8、C=2sin B,所以a+c=2b,所以=(a+c)2-3ac,所以=12,所以(a+c)2=16,所以a+c=4,所以b=2,所以2R=,所以R=.答案:8.已知点O是ABC的外接圆的圆心,AB=3,AC=2,BAC=,则外接圆O的面积为.【解析】由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos=32+-232=5,所以BC=.设外接圆的半径为R,由正弦定理得2R=,所以外接圆的面积为S=r2=.答案:四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+c)(sin A-sin C)=(a-b)sin B.(1)求角C;(2)若a=4,
9、ABC的面积为,求c.【解析】(1)因为(a+c)(sin A-sin C)=(a-b)sin B,由正弦定理得a2-c2=(a-b)b,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cos C=.因为0C,所以C=.(2)因为a=4,ABC的面积为,所以absin C=,即4b=,解得b=.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=16+-24=,所以c=.10.平面四边形ABCD中,边BC上有一点E,ADC=120,AD=3,sinECD=,DE=,CE=.(1)求AE的长;(2)已知ABC=60,求ABE面积的最大值.【解析】(1)在CED中,由正弦定理可得=,即=,所以sinCDE=,因
10、为CEDE,所以CDE是锐角,故CDE=30,又ADC=120,所以ADE=90,在直角ADE中,AE2=AD2+DE2=32+3=12,所以AE=2.(2)在ABE中,AE=2,ABC=60,由余弦定理可得AE2=AB2+BE2-2ABBEcos 60,即12=AB2+BE2-ABBE,因为AB2+BE22ABBE,所以ABBE+122ABBE,即ABBE12,当且仅当AB=BE=2时等号成立,所以SABE=ABBEsin 60=ABBE3.所以ABE面积的最大值为3.1.在ABC中,a,b,c分别是三内角A,B,C的对边,若满足条件c=4,B=60的三角形的解有两个,则b的长度范围是()A
11、.(0,2)B.(2,4)C.(2,4)D.(4,+)【解析】选C.因为满足条件c=4,B=60的三角形的解有两个,所以csin Bbc,所以2b4,所以b的取值范围为(2,4).2.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角,判断三角形是否有解,有解的作出解答.(1)a=10,b=20,A=80;(2)a=2,b=6,A=30.【解析】(1)a=10,b=20,ab,A=8020sin 60=10,所以absin A,所以本题无解.(2)a=2,b=6,ab,A=30bsin A,所以bsin Aab,所以本题有两解.由正弦定理得sin B=,又因为0B180,所以B=60或B=120.当B=60时,C=90,c=4;当B=120时,C=30,c=2.所以当B=60时,C=90,c=4;当B=120时,C=30,c=2.关闭Word文档返回原板块