1、2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.1两条直线的交点坐标2.3.2两点间的距离公式学 习 目 标核 心 素 养1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标(重点) 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用(重点)1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养.2. 通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学素养.点P(x0，y0)在直线AxByC0上，那么我们会有Ax0By0C0，若P(x0，y0)，同时在两条直线A1xB1yC10和A2xB2yC20上时，我们会有Aix0Biy0Ci0(i1,2)，那么点P就是这两条直线的
2、交点下面我们就来研究两直线的交点问题1两条直线的交点坐标 几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线ll：AxByC0点A在直线l上AaBbC0直线l1与l2的交点是A方程组的解是2.直线l1：A1xB1yC10(A1，B1不同时为0)；l2：A2xB2yC20(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示：方程组的解一组无数组无解直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个直线l1和l2的位置关系相交重合平行3.两点间的距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.(2)两点间距离的特殊情况原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.当P1P2x轴
3、(y1y2)时，|P1P2|x2x1|.当P1P2y轴(x1x2)时，|P1P2|y2y1|.思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|的形式？提示可以，原因是，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交()(2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交()(3)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当P1P2y轴(x1x2)时，|P1P2|y2y1|.()(4)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当P1P2x轴(y1y2)时
4、，|P1P2|x2x1|.()提示(1)(2)(3)(4)2直线x1和直线y2的交点坐标是()A(2,2)B(1,1)C(1,2)D(2,1)C由得交点坐标为(1,2)，故选C.3已知ABC的顶点A(2,3)，B(1,0)，C(2,0)，则ABC的周长是()A2 B32C63 D6C|AB|3，|BC|3，|AC|3，则ABC的周长为63. 4若直线xay10与直线xy10的交点在y轴上，则a的值是_1直线xy10与y轴的交点为(0,1)，把(0,1)代入xay10的a10解得a1.两条直线的交点问题【例1】分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点(1)l1：2xy7和l2：3x2y7
5、0；(2)l1：2x6y40和l2：4x12y80；(3)l1：4x2y40和l2：y2x3.解法一：(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，1)(2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合(3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1l2.法二：(1)kl12，kl2，kl1kl2，l1与l2相交，由得故l1与l2的交点为(3，1)(2)由，知l1与l2重合(3)l2方程为2xy30，由知两直线l1与l2平行两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二：两直线斜率都存在且斜率不等方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在跟进
6、训练1若直线l1：ykxk2与直线l2：y2x4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是()AkBk2Ck2 Dk或k2C法一：由题意知，直线l1过定点P(1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)、B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA，kPB2，所以k2.故选C.法二：由直线l1，l2有交点，得k2.由得又交点在第一象限内，所以解得k2.两点间距离公式【例2】已知ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)，B(1,3)，C(3,0)(1)判断ABC的形状；(2)求ABC的面积思路探究先把三个顶点描在平面直角坐标
7、系中，观察出三角形的形状，再用距离公式及斜率的关系验证解(1)如图所示，ABC为直角三角形，下面进行验证法一：|AB|2，|AC|，|BC|5.|AB|2|AC|2|BC|2，即ABC是以A为直角顶点的直角三角形法二：kAB2，kAC.kABkAC1，ABAC.ABC是以A为直角顶点的直角三角形(2)由(1)中法一得|AB|2，|AC|.又A90，SABC|AB|AC|25.1判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向2在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足
8、勾股定理跟进训练2已知点A(3,4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|PB|，并求|PA|的值解设点P(x,0)，则有|PA|，|PB|.由|PA|PB|，得x26x25x24x7，解得x.即所求点P为，且|PA|.过两条直线交点的直线系方程应用探究问题1. 如何求两条直线的交点坐标？提示求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可2怎样表示过两条直线交点的直线系方程？提示过两条直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括l2的方程)3方程(a1)xy(2a1)0表示过哪两条直线的直线系方程提示方程可化
9、为a(x2)(xy1)0，所以该方程可表示为过直线x20和xy10的交点的直线系方程【例3】求过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线方程思路探究条件确定系数解法一：解方程组得所以两直线的交点坐标为.又所求直线与直线3xy10平行，所以所求直线的斜率为3.故所求直线方程为y3，即15x5y160.法二：设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0.(*)由于所求直线与直线3xy10平行，所以有得.代入(*)式，得xy0，即15x5y160.1本例中将“3xy10”改为“x3y10”，则如何求解？解由例题知直线2x3y30和xy20的交点坐标为
10、，直线l与x3y10平行，故斜率为，所以直线l的方程为y，即5x15y240.2本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？解设所求直线方程为(2x3y3)(xy2)0，即(2)x(3)y(23)0，由于所求直线与直线3xy10垂直，则3(2)(3)10，得，所以所求直线方程为5x15y180.过两条直线交点的直线方程的求法(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程1方程组有唯一解的等价条件是A1B2A2B10.亦即两条直线相交的等价条件是A
11、1B2A2B10.直线A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)是过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20交点的直线(不含l2)2解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法3两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想1直线2xy80和直线xy10的交点坐标是()A(9，10) B(9,10)C(9,10) D(9，10)B解方程组得故两直线的交点坐标为(9,10)2已知点A(2，1)，B(a,3)，且|AB|5，则a的值为()A
12、1 B5C1或5 D1,5C由两点间距离公式得5.解得a1或5，故选C.3若三条直线2x3y80，xy10和xky0相交于一点，则k的值等于_由得把(1，2)代入xky0并解得k.4不论a取何值时，直线(a3)x2ay60，恒过第_象限四方程可化为a(x2y)(3x6)0，由得，(2，1)在第四象限，故直线恒过第四象限5在直线l：3xy10上求一点P，使点P到两点A(1，1)，B(2,0)的距离相等解法一：设点P的坐标为(x，y)，则由|PA|PB|，得解得，所以点P的坐标为(0,1)法二：由题意知，线段AB的中点M的坐标为，AB所在直线的斜率为kAB1，故线段AB的垂直平分线的方程为xy10.设P(x，y)，又3xy10，联立得解得所以点P的坐标为(0,1)