1、2.2直线的方程2.2.1直线点斜式方程学 习 目 标核 心 素 养1.了解直线方程的点斜式的推导过程(难点)2.掌握直线方程的点斜式并会应用(重点)3.掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念(重点、易错点)通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学素养. 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？1直线的点斜式方程和斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程形式yy0k(xx0)y
2、kxb适用条件斜率存在思考：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？提示不能有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示2直线在y轴上的截距定义：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.符号：可正，可负，也可为零1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的点斜式方程能表示平面上的所有直线()(2)k与yy0k(xx0)都是直线的点斜式方程()(3)直线的纵截距是直线与y轴交点的纵坐标()提示(1)(2)(3)2直线l的点斜式方程是y23(x1)，则直线l的斜率是()A2B1C3D3C由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.3直线1在y轴上的截距
3、是()A|b| Bb2Cb2 DbB令x0，则yb2.4过点(2,1)且与直线y3x1平行的直线的点斜式方程为_y13(x2)y3x1的斜率为3，所求直线的斜率为3，即所求直线方程的点斜式方程为y13(x2)直线的点斜式方程【例1】(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45，则这条直线的点斜式方程为_(2)经过点(5,2)且平行于y轴的直线方程为_(1)y5x2(2)x5(1)因为倾斜角为45，所以斜率ktan 451，所以直线的点斜式方程为y5x2.(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x5.求直线的点斜式方程的步骤提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直
4、，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为xx0.跟进训练1分别求出经过点P(3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形(1)斜率k2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直解(1)由点斜式方程得y42(x3)(2)与x轴平行时，k0，y40(x3)，即y4.(3)与x轴垂直，斜率不存在，方程为x3.直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150，在y轴上的截距是2；(3)倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解(1)由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y2x5.(2)因为倾斜角150，所以斜率ktan 1
5、50，由斜截式可得直线方程为yx2.(3)因为直线的倾斜角为60，所以斜率ktan 60.因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b3或b3，故所求直线的斜截式方程为yx3或yx3.求直线的斜截式方程(1)先求参数k和b，再写出斜截式方程(2)斜率可以是已知的，也可以利用倾斜角来求出，还可以利用平行、垂直关系求出斜率(3)b是直线在y轴上的截距，即直线与y轴交点的纵坐标，不是交点到原点的距离跟进训练2已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程解设直线方程为yxb，则x0时，yb；y0时，x6b.由已知可得|b|6b|3，即6|b|26，b1.
6、故所求直线方程为yx1或yx1.斜截式在两直线平行与垂直中的应用探究问题1已知l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，若l1l2，应满足什么条件？若l1l2，应满足什么条件？提示k1k2且b1b2；k1k21.2一次函数的解析式与直线的斜截式方程ykxb有什么不同？提示一次函数的x的系数k0，否则就不是一次函数，而斜截式方程ykxb中的k可以是0.【例3】(1)当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直？思路探究由直线的斜截式方程中k、b的几何意义及直线平行、垂直的条件建立关于a的方程及不等式，求出a
7、的值解(1)由题意可知，kl11，kl2a22，l1l2，解得a1.故当a1时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行(2)由题意可知，kl12a1，kl24，l1l2，4(2a1)1，解得a.故当a时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直1变结论本例(1)中l2恒过哪个定点？过该定点且与l1平行的直线方程是什么？解在y(a22)x2中，当x0时，y2.故直线l2恒过定点(0,2)当与l1平行时，斜率k1.故过(0,2)且与l1平行的直线方程为yx2.2变结论在例(2)中a为何值时，两直线平行？解根据平行的条件知，解得a.即a时，l1l2.已知两直线的斜截式方程，判定
8、两直线平行与垂直设直线l1的方程为yk1xb1，直线l2的方程为yk2xb2.(1)l1l2k1k2，且b1b2；(2)l1与l2重合k1k2，且b1b2；(3)l1l2k1k21.1建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1.2斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线ybk(x0)，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是
9、x的一次函数(k0时)如yc是直线的斜截式方程，而2y3x4不是直线的斜截式方程1倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10D135的斜率k1，所以方程为yx1即xy10.2已知直线的方程是y2x1，则()A直线经过点(1,2)，斜率为1B直线经过点(2，1)，斜率为1C直线经过点(1，2)，斜率为1D直线经过点(2，1)，斜率为1C直线方程y2x1可化为y(2)x(1)，故直线经过点(1，2)，斜率为1.3已知直线l过点A(2,1)且与直线y14x3垂直，则直线l的方程为_y1(x2)由条件可知kl，方程为y1(x2)4无论k取何值时，直线ykx2k3所过的定点是_(2，3)直线方程能化成点斜式方程：y3k(x2)，所以过定点(2，3)5直线l1过点P(1,2)，斜率为，把l1绕点P按顺时针方向旋转30角得直线l2，求直线l1和l2的方程解直线l1的方程是y2(x1)，即x3y60.k1tan 1，1150.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30，得到直线l2的倾斜角为215030120，k2tan 120，l2的方程为y2(x1)，即xy20.