1、第3讲 基本不等式及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014太原模拟)设非零实数a，b，则“a2b22ab”是“2”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析因为a，bR时，都有a2b22ab(ab)20，即a2b22ab，而2ab0，所以“a2b22ab”是“2”的必要不充分条件，故选B.答案B2已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()A. B4 C. D5 解析依题意，得(ab)5()(52)，当且仅当即a，b时取等号，即的最小值是.答案C3若正数x，y满足4x29y23xy30，则xy的最大值是()A. B. C2 D.解析
2、由x0，y0，得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值为2.答案C4(2015金华十校模拟)已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb，na，则mn的最小值是()A3 B4 C5 D6解析由题意知：ab1，mb2b，na2a，mn2(ab)44.答案B5(2014福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A80元 B120元 C160元 D240元解析设底面矩形的长和宽分别为a m，b m，则ab4(m2)容
3、器的总造价为20ab2(ab)108020(ab)8040160(元)(当且仅当ab时等号成立)故选C.答案C二、填空题6(2014贵阳适应性监测)已知向量m(2，1)，n(1b，a)(a0，b0)若mn，则ab的最大值为_解析依题意得2a1b，即2ab1(a0，b0)，因此12ab2，即ab，当且仅当2ab时取等号，因此ab的最大值是.答案7(2015南昌模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_解析由已知，得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)，令x3yt，则t212t1080，解得t6，即x3y6.答案68(2014重庆卷)若log4(3a4b)log2，则ab的最小
4、值是_解析由log4(3a4b)log2得3a4bab，且a0，b0，1，ab(ab)77274，当且仅当时取等号答案74三、解答题9已知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，当且仅当2x5y时，等号成立因此有解得此时xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时，等号成立由解得的最小值为.10(2014泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元
5、，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)解(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则y25x6xx(x1)50(0x10，xN)，即yx220x50(0x10，xN)，由x220x500，解得105x105.而21053，故从第3年开始运输
6、累计收入超过总支出(2)因为利润累计收入销售收入总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y(25x)(x219x25)19，而191929，当且仅当x5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大能力提升题组(建议用时：25分钟)11(2015西安第一中学模拟)设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为()A2 B. C1 D. 解析由axby3，得xloga3，ylogb3，则.又a1，b1，所以ab()23，所以lg ablg 3，从而1，当且仅当ab时等号成立答案C12设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A
7、0 B1 C. D3解析由已知得zx23xy4y2(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以11.答案B13(2014成都诊断)函数f(x)lg，若f(a)f(b)0，则的最小值为_解析依题意得0a2，0b2，且lg0，即ab(2a)(2b)，1，(42)2，当且仅当，即a3，b1时取等号，因此的最小值是2.答案214某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理
8、池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米总造价f(x)400(2x)2482x801621 296x12 9601 296(x)12 9601 296212 96038 880(元)，当且仅当x(x0)，即x10时取等号当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元(2)由限制条件知x16.设g(x)x，g(x)在，16上是增函数，当x时(此时16)，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，即为1 29612 96038 882(元)当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38 882元.