1、第六节离散型随机变量及其分布列命题分析预测学科核心素养本节常以实际问题为背景，考查离散型随机变量的分布列，主要以解答题的形式呈现，解题时要熟悉相关公式的应用本节通过实际问题中离散型随机变量的分布列，考查考生的数据分析、数学运算核心素养授课提示：对应学生用书第220页知识点一离散型随机变量1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散型随机变量的分布列及性质（1）一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi（i1，2，n）的概率P（Xxi）pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离
2、散型随机变量X的概率分布列（2）离散型随机变量的分布列的性质：pi0（i1，2，n）；p1p2pn11袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（）A至少取到1个白球B至多取到1个白球C取到白球的个数 D取到的球的个数解析：选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2答案：C2袋中装有10个红球、5个黑球每次随机抽取1个球后，若取得黑球，则另换1个红球放回袋中，直到取得红球为止若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是（）AX4 BX5CX6 DX5解析：事件“放回5个红球”表示前5次摸到黑球，且第6次摸到红球，所以
3、X6答案：C3设随机变量X的分布列如下：X12345Pp则p_解析：由分布列的性质知，p1，所以p1答案：知识点二离散型随机变量的分布列1两点分布像X01P1pp这样的分布列叫做两点分布列如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称pP（X1）为成功概率2超几何分布列一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件Xk发生的概率为P（Xk），k0，1，2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN，称分布列为超几何分布列如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布X01mP 温馨提醒 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此
4、时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数1一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P（X4）_解析：X4表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P（X4）答案：2设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P（X0）_解析：由已知得X的所有可能取值为0，1，且P（X1）2P（X0），由P（X1）P（X0）1，得P（X0）答案：3设随机变量X的分布列为X1234Pm则P（|X3|1）_解析：由m1，解得m，P（|X3|1）P（X2）P（X4）答案：授课提示：对应学生用书第221页题型一离散型
5、随机变量分布列的性质1设X是一个离散型随机变量，其分布列为X101P23qq2则q的值为（）A1BC D解析：由分布列的性质知解得q答案：C2设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Pa若F（x）P（Xx），则当x的取值范围是1，2）时，F（x）等于（）A BC D解析：由分布列的性质，得a1，所以a而x1，2），所以F（x）P（Xx）答案：D3离散型随机变量X的概率分布规律为P（Xn）（n1，2，3，4），其中a是常数，则P的值为_解析：由a1，知a1，得a故PP（X1）P（X2）答案：离散型随机变量的分布列的性质的应用（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用
6、“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确题型二超几何分布例为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机选择4人参加比赛（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列解析（1）由已知，有P（A）所以事件A发生的概率为（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（Xk
7、）（k1，2，3，4）故P（X1），P（X2），P（X3），P（X4），所以随机变量X的分布列为X1234P1超几何分布的两个特点（1）超几何分布是不放回抽样问题（2）随机变量为抽到的某类个体的个数2超几何分布的应用条件（1）两类不同的物品（或人、事）（2）已知各类对象的个数（3）从中抽取若干个个体对点训练（2021济宁模拟）PM25是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于25微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM25日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标从
8、某自然保护区2020年全年每天的PM25监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM25日均值（微克/立方米）25，35）35，45）45，55）55，65）65，75）75，85频数311113（1）从这10天的PM25日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；（2）从这10天的数据中任取3天的数据，记X表示抽到PM25监测数据超标的天数，求X的分布列解析：（1）记“从10天的PM25日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有1天空气质量达到一级”为事件A，则P（A）（2）依据条件，X服从超几何分布，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3，则P（Xk
9、）（k0，1，2，3），P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），因此X的分布列为X0123P题型三离散型随机变量的分布列例（2021安阳模拟）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在50，100）内，且销售量x的分布频率f（x）（1）求a的值并估计销售量的平均数；（2）若销售量大于或等于70，则称该日畅销，其余为滞销在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天，再从这8天中随机抽取3天进行统计，设这3天来自X个组，求随机变量X的分布列（将频率视为概率）解析（1）由题意知解得5n9，n可取5，6，7，8，9，结合f（x）得1
10、，则a015可知销售量分别在50，60），60，70），70，80），80，90），90，100）内的频率分别是01，01，02，03，03，所以销售量的平均数为5501650175028503950381（2）销售量分布在70，80），80，90），90，100）内的频率之比为233，所以在各组抽取的天数分别为2，3，3X的所有可能取值为1，2，3，P（X1），P（X3），P（X2）1X的分布列为X123P求离散型随机变量X的分布列的步骤（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值（2）求X取每个值的概率（3）写出X的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要
11、注意应用计数原理、古典概型等知识对点训练（2021成都模拟）甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3道题，每人答对其中2道题就停止答题，即闯关成功已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是（1）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；（2）设甲答对题目的个数为，求的分布列解析：（1）设甲、乙闯关成功分别为事件A，B，则P（），P（）C，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1P（ ）1P（）P（）1（2）由题知的可能取值是1，2P（1），P（2），则的分布列为12P离散型随机变量性质应用中的核心素养数学运算离散型随机变量分布列性质的交汇应用例已知随机变量的分布列如下表：101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P（|1）的值与公差d的取值范围分别是（）ABCD解析a，b，c成等差数列，2bac又abc1，b，P（|1）ac则ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，d答案A利用离散型随机变量分布列性质与等差中项交汇去求解，注意本题易忽视a0，c0对点训练已知随机变量X的概率分布列如下表：X12345678910Pm则P（X10）（）ABCD解析：由离散型随机变量分布列的性质可知m1，m112，P（X10）答案：C