1、黄浦区2017年高考模拟考数 学 试 卷 （完卷时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第16题每题满分4分，第712题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 函数的定义域是_【答案】；【解析】试题分析：考点：函数的定义域的求法.2. 若关于的方程组有无数多组解，则实数_【答案】；【解析】当时，不合题意；当时，得，综上：.3. 若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为_【答案】；【解析】由得：或；若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则，所以的最大值为.【点睛】从集合的角度看充要条件，若对应集合 ，对应集合， 如果，则 是 的充分
2、条件；如果 ，则 是 的充分不必要条件；如果，则 是 的必要条件；如果 ，则是 的必要不充分条件；如果，则是的充要条件，如果无上述包含关系，则是 的既不充分也不必要条件；4. 已知复数，(其中i为虚数单位)，且是实数，则实数t等于_【答案】；【解析】为实数，则.5. 若函数 (a0,且a1)是R上的减函数，则a的取值范围是_【答案】；【解析】当时，在上为减函数，而在上为减函数，要使函数在R上为减函数，则a满足，解得.6. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为_【答案】；【解析】先画出二元一次不等式组所表示的平面区域，目标函数 为截距型目标函数，令，作直线，由于，表示直线的截距，平移直线得最
3、优解为， 的最小值为.【点睛】线性规划问题要搞清目标函数的几何意义，常见的目标函数线有截距型、距离型（两点间的距离、点到直线的距离）、斜率型等，主要考查最值或范围.另外有时考查线性规划的逆向思维问题，难度稍大一点. 线性规划问题为高考高频考点，属于必得分题.7. 已知圆和两点，若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是_【答案】；【解析】 由于两点在以原点为圆心，为半径的圆上，若圆上至少存在一点，使得，则两圆有公共点，设圆心距为，则，则，则的取值范围是.8. 已知向量，如果，那么的值为_【答案】；【解析】 ，则， . 【点睛】有关三角函数计算问题，“异名化同名，异角化同角”，注意弦切互化，最关键
4、问题是寻找角与角之间的关系，角与角之间是否存在和、差、倍关系，再借助诱导公式，同角三角函数关系，和、差公式，二倍角公式等求值.9. 若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是_【答案】；【解析】正八边形的八个顶点，无三点在同一直线上，任取3点可连成一个三角形，共可作个三角形，其中4条对角线为其外接圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，每条直径可连接6个直角三角形，共计可作 个直角三角形，概率为.10. 若将函数 的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是_【答案】；【点睛】11. 三棱锥满足：，则该三棱锥的体积V的取值范围是_【
5、答案】；【解析】由于 平面， ，在 中，要使 面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.学%科%网.【答案】（或，或）【解析】数列满足， ， ，当，时， ， ，若 时， 当 时， ，解得，填写 .继续讨论可求出其他的解（略）.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是 （ ）A. y = sin(2x+ B. y = cos(2x+C. y = sin(x+ D. y =
6、cos(x+【答案】A【解析】根据正、余函数周期公式可知，排除C、D. 对于， ，则 在上为减函数，选.14. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是下部为圆柱体，上部是半径为1的球，直接求表面积即可。由三视图容易推知几何体是：上部是半径为1的球，下部是底面直径为2的圆柱体，高为3，该几何体的表面积为：32+2+4r2=12，故答案为：12，故选D.考点：本题考查三视图、组合体的表面积考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；中档题点评：解决该试题的关键是将
7、三视图还原为几何体。15. 已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线的右焦点到左顶点的距离为 ，焦点到渐近线的距离为，则， ，因此，, ，渐近线方程为，即 选.【点睛】求双曲线的渐近线方程，就是寻求或，求法与求离心率类似，只需找出一个的等量关系，削去后，求出或，就可以得出渐近线方程，削去 后，就可以求，即可求出离心率.16. 如图所示，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且 ，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】连接并延长分别交圆于，连接，与交于，显然，此时，分别过作
8、的平行线，由于 ，则，则， ， ，此时 ，同理可得：，选.【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点在等和线上去求的取值范围，由于点是圆及其内部任意一点，所以分别过作圆的切线，求出两条等和线的值，就可得出的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 如图，在直棱柱中，分别是 的中点 （1）求证：；（2）求与平面所成角的大小及点到平面的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）以A为坐标原点、AB为x轴、为y轴、为z轴建立如图的空间直角坐标系由题意可知，故， 由，可知，即 （2）设
9、是平面的一个法向量，又，故由解得 故 设与平面所成角为，则，所以与平面所成角为，点到平面的距离为【点睛】根据几何体的特征建立适合的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线线垂直，只需说明数量积为零，求点到平面的距离，只需求出平面的法向量，利用点到平面距离公式计算出结果.证明线面、面面的平行或垂直问题，要把握平行与垂直的判定定理和性质定理，严格根据定理进行逻辑推理，有关角和距离的计算大多使用空间向量，借助法向量进行计算.18. 在中，角的对边分别为，且成等差数列（1）求角的大小；（2）若，求的值【答案】（1）（2）【解析】（1）由成等差数列，可得， 故，所以， 又，所以，故，又由，可知，故，所以
10、 （另法：利用求解）（2）在ABC中，由余弦定理得， 即，故，又，故，所以 ，故【点睛】利用正、余弦定理解三角形问题，注意使用“边转角、角转变”，注意减元，求角时注意角的范围.利用余弦定理时注意到三者的联系，本考点属于高考高频考点，务必引起高度的注意.19. 如果一条信息有n种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为，则称 （其中 ）为该条信息的信息熵已知（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为）参加，若当 时，选手获得冠军的概率为，求“谁获得冠军”的信息熵关于n的表达式【答
11、案】（1）5（2）【解析】（1）由，可得，解之得.由32种情形等可能，故，所以，答：“谁被选中”的信息熵为 （2）获得冠军的概率为，当 时，又，故， ，以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军”的信息熵为20. 设椭圆M:的左顶点为、中心为，若椭圆M过点，且 （1）求椭圆M的方程；（2）若APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求APQ面积的最大值；（3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆M于两点，且，求证：直线恒过一个定点【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由，可知，又点坐标为故，可得，因为椭圆M过点，故，可得，所以椭圆M的方程为 （2）AP的方程为，即， 由于是椭圆M上的点，故可设， 所以 当，即
12、时，取最大值故的最大值为 法二：由图形可知，若取得最大值，则椭圆在点处的切线必平行于，且在直线的下方 设方程为，代入椭圆M方程可得，由，可得，又，故 所以的最大值 （3）直线方程为，代入，可得，又故，同理可得，又且，可得且，所以， 直线的方程为， 令，可得故直线过定点 （法二）若垂直于轴，则，此时与题设矛盾若不垂直于轴，可设的方程为，将其代入，可得，可得，又，可得， 故， 可得或，又不过点，即，故所以的方程为，故直线过定点【点睛】先根据题意列方程组求出写出椭圆的标准方程；最值问题首先表示三角形的面积，写出直线的方程，由于点是椭圆M上的点，所以巧设点的坐标，借助点到直线距离公式表示三角形的高，从
13、而表示出三角形的面积，然后求最值；第三步为直线过定点问题，把A所在直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系找出 坐标，写出所在直线方程，证明其过定点.21. 若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有【答案】（1）是“L函数”. 不是“L函数”.（2）（3）见解析【解析】（1）对于函数，当时，又，所以，故是“L函数”. 对于函数，当时， 故不是“L函数”. （2）当时，由是“L函数”，可知，即对一切正数恒成立，又，可得对一切正数恒成立，所以 由，可得，故，又，故，由对一切正数恒成立，可得，即 综上可知，a的取值范围是 （3）由函数为“L函数”， 可知对于任意正数，都有，且，令，可知，即， 故对于正整数k与正数，都有， 对任意，可得，又，所以， 同理，故 【点睛】本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L函数”的定义，说明是“L函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数是“L函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.
