1、广东省广州六中2015届高三上学期10月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合A=x|（x1）（x4）0，B=x|y=，则AB=（）A（，2B（1，2）C（1，2D（2，4）2（5分）已知an是等比数列，a2=2，a3=，则公比q=（）AB2C2D3（5分）已知向量和的夹角为60，|=1，|=2，则|=（）A1BC2D34（5分）“m=1”是“直线mx+（2m1）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（5分）如图
2、是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（）ABC8D126（5分）已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A若mn，n，则mB若，=m，nm，则nC若ln，mn，则lmD若l，m，且lm，则7（5分）已知函数y=xf（x）的图象如图所示（其中f（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）ABCD8（5分）将函数y=2cos（2x+）的图象向右平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为（）ABCD9（5分）等差数列an中，S150，S160，则使an0成立的n的最大值为（）A6B7C8D910（5分）已
3、知函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1（0，1），x2（1，+）；点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）A（1，3B（1，3）C（3，+）D3，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11（5分）过点（1，0）且与直线x2y2=0平行的直线方程是12（5分）已知函数f（x）=ex+ae为偶函数，则实数a的值为13（5分）在等腰直角三角形ABC中，A=90，BC=2，D是AB的中点，则=14（5分）设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则类比这个结论可知：
4、四面体ABCD的四个面分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体ABCD的体积为V，则R=三、解答题（本大题共6小题，要求写出必要的文字说明及证明过程）15（12分）已知函数（）求f（x）的最小正周期：（）求f（x）在区间上的最大值和最小值16（12分）已知圆C：（x+3）2+（y4）2=4（1）若直线l1过点A（1，0），且与圆C相切，求直线l1的方程；（2）若圆D的半径为1，圆心D在直线l2：x+y2=0上，且与圆C内切，求圆D的方程17（14分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，PD底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是被AD、PC的中点，（1
5、）求证：DN平面PMB；（2）求证：平面PMB平面PAD；（3）求三棱锥APMB的体积18（14分）某厂生产A产品的年固定成本为250万元，若A产品的年产量为x万件，则需另投入成本C（x）（万元）已知A产品年产量不超过80万件时，C（x）=x2+10x；A产品年产量大于80万件时，C（x）=51x+1450因设备限制，A产品年产量不超过200万件现已知A产品的售价为50元/件，且年内生产的A产品能全部销售完设该厂生产A产品的年利润为L（万元）（1）写出L关于x的函数解析式L（x）；（2）当年产量为多少时，该厂生产A产品所获的利润最大？19（14分）已知数列an，an2，an+1=，a1=3（1
6、）证明：数列是等差数列（2）设bn=an2，数列bnbn+1的前n项和为Sn，求使（2n+1）2n+2Sn（2n3）2n+1+192成立的最小正整数n20（14分）已知函数f（x）=ax2（2a+1）x+2lnx（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=4处的切线相互平行，求a的值；（2）试讨论f=f（x）的单调性；（3）设g（x）=x22x，对任意的x1（0，2，均存在x2（0，2，使得f（x1）g（x2），试求实数a的取值范围广东省广州六中2015届高三上学期10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
7、合题目要求的）1（5分）已知集合A=x|（x1）（x4）0，B=x|y=，则AB=（）A（，2B（1，2）C（1，2D（2，4）考点：交集及其运算 专题：集合分析：利用二次不等式的解法求出集合A，函数的定义域求出集合B，然后求解交集即可解答：解：集合A=x|（x1）（x4）0=x|1x4，B=x|y=x|x2，AB=x|1x2故选：C点评：本题考查二次不等式的解法，函数的定义域，交集的运算，基本知识的考查2（5分）已知an是等比数列，a2=2，a3=，则公比q=（）AB2C2D考点：等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：根据等比数列的性质和题意求出公比q即可解答：解：由题意得，公比
8、q=，故选：D点评：本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题3（5分）已知向量和的夹角为60，|=1，|=2，则|=（）A1BC2D3考点：向量的模 专题：平面向量及应用分析：根据平面向量的数量积，求出向量的模长即可解答：解：向量和的夹角为60，|=1，|=2，=2+=12212cos60+22=3，|=故选：B点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据平面向量的数量积求出模长，是基础题4（5分）“m=1”是“直线mx+（2m1）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
9、 专题：直线与圆分析：由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=0时直线mx+（2m1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m1）y+2=0与直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案解答：解：若两直线垂直，则当m=0时，两直线为y=2与x=1，此时两直线垂直当2m1=0，即m=时，两直线为x=4与3x+y+3=0，此时两直线相交不垂直当m0且m时，两直线的斜截式方程为y=x与y=两直线的斜率为与，所以由得m=1，所以m=1是两直线垂直的充分不必要条件，故选A点评：本题考查充分条件必要条件的判断及两直线垂直的条件，解
10、题的关键是理解充分条件与必要条件的定义及两直线垂直的条件，本题的难点是由两直线垂直得出参数m的取值，此处也是一易错点，易忘记验证斜率不存在的情况，导致判断失误5（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积为（）ABC8D12考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图可知：该几何体是正四棱锥，其中底边长2，侧面的斜高为2，据此可计算出侧面积解答：解：由三视图可知：该几何体是正四棱锥，其中底边长=2，侧面的斜高为2，由此得该几何体的侧面积=4=8故选C点评：本题考查由三视图计算原几何体的侧面积，正确恢复原几何体是解决问题的关键6（5分）已知三条不重合的直线m，n
11、，l和两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A若mn，n，则mB若，=m，nm，则nC若ln，mn，则lmD若l，m，且lm，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系直接判断解答：解：若mn，n，则m，或m，或A不正确；若，=m，nm，则n与相交或n或n，故B不正确；若ln，mn，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l，m，且lm，则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知，故D正确故选：D点评：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题，解题时要注意培养学生的空间思维能力7（5
12、分）已知函数y=xf（x）的图象如图所示（其中f（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）ABCD考点：利用导数研究函数的单调性 分析：根据函数y=xf（x）的图象，依次判断f（x）在区间（，1），（1，0），（0，1），（1，+）上的单调性即可解答：解：由函数y=xf（x）的图象可知：当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增当1x0时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）减当0x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）减当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增故选：C点评：本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题本题有一定
13、的代表性，是一道好题8（5分）将函数y=2cos（2x+）的图象向右平移m（m0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：利用图象的平移求出平移后的解析式，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出m的最小值解答：解：由题意知，y=2cos（2x+），图象向右平移m（m0）个单位长度后，所得到y=2cos（2x+2m）所得到的图象关于y轴对称，2m=k，kZ，m=，kZ，m0，m的最小值为：故选：C点评：本题考查三角函数的图象变换，考查余弦函数图象的特点，属于基础题9（5分）等差数列
14、an中，S150，S160，则使an0成立的n的最大值为（）A6B7C8D9考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的性质和求和公式结合题意可得a80，a90，进而可得数列的前8项为正数，从第9项开始为负值，可得答案解答：解：由题意可得S15=15a80，即a80；同理可得S16=8（a8+a9）0，即a8+a90，综上可得a80，a90，故等差数列an为递减数列故数列的前8项为正数，从第9项开始为负值，故使an0成立的n的最大值为8故选C点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，得出数列的前8项为正数，从第9项开始为负值是解决问题的关键，属中档题10（5分）已知函数f
15、（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，且x1（0，1），x2（1，+）；点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）A（1，3B（1，3）C（3，+）D3，+）考点：函数在某点取得极值的条件 专题：综合题；导数的综合应用分析：由函数f（x）=+的两个极值点分别为x1，x2，可知：y=0的两根x1，x2满足0x11x2，利用根与系数的关系可得：（x11）（x21）=+m+10，得到平面区域D，且m1，n1由于y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域D内的点，可得1，进而得出结论解答：解：函数f（x）=+的两个极值
16、点分别为x1，x2，且x1（0，1），x2（1，+），y=0的两根x1，x2满足0x11x2，则x1+x2=m，x1x2=0，（x11）（x21）=x1x2（x1+x2）+1=+m+10，即n+3m+20，mn3m2，为平面区域D，m1，n1y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域D内的点，loga（1+4）1，1，a1，lga0，1g3lga解得1a3故选：B点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、一元二次方程的根与系数的关系、线性规划、对数函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11（5分）过点（1，0）且与直线x2y2
17、=0平行的直线方程是x2y1=0考点：两条直线平行的判定；直线的一般式方程 分析：先求直线x2y2=0的斜率，利用点斜式求出直线方程解答：解：直线x2y2=0的斜率是，所求直线的斜率是所以所求直线方程：y=（x1），即x2y1=0故答案为：x2y1=0点评：本题考查两条直线平行的判定，直线的点斜式方程，是基础题12（5分）已知函数f（x）=ex+ae为偶函数，则实数a的值为1考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据函数奇偶性的定义，建立方程即可得到结论解答：解：函数f（x）=（ex+aex）为R上的偶函数，f（x）=f（x），即ex+aex=ex+aex，即ex+aex=ex+
18、aex，即（a1）（exex）=0，解得a=1，故答案为：1点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，根据偶函数的定义建立方程f（x）=f（x）是解决本题的关键13（5分）在等腰直角三角形ABC中，A=90，BC=2，D是AB的中点，则=6考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：将，分别用和表示，利用向量的数量积的定义解答解答：解：因为三角形ABC为等腰直角三角形，A=90，BC=2，D是AB的中点，所以AC=AB=2，所以=（）=4+0+0+2=6；故答案为：6点评：本题考查了向量的三角形法则以及向量数量积的运算，属于基础题14（5分）设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为
19、S，内切圆半径为r，则类比这个结论可知：四面体ABCD的四个面分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体ABCD的体积为V，则R=考点：类比推理 专题：计算题分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可求得R解答：解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 则R=；故答案为：点评：本题主要考查类比推理类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的
20、一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）三、解答题（本大题共6小题，要求写出必要的文字说明及证明过程）15（12分）已知函数（）求f（x）的最小正周期：（）求f（x）在区间上的最大值和最小值考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值 专题：三角函数的图像与性质分析：（）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期（）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值解答：解：（
21、），=4cosx（）1=sin2x+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数的最小正周期为；（）x，2x+，当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=时，即x=时，f（x）取得最小值1点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值解题的关键是对函数解析式的化简整理16（12分）已知圆C：（x+3）2+（y4）2=4（1）若直线l1过点A（1，0），且与圆C相切，求直线l1的方程；（2）若圆D的半径为1，圆心D在直线l2：x+y2=0上，且与圆C内切，求圆D的方程考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：（1）当切线l1的斜率不存在时，求出
22、直线l1的方程；当切线l1的斜率存在时，设直线l1的方程为y0=k（x+1），根据圆心C（3，4）到直线l1的距离等于半径，求得斜率k的值，可得直线l1的方程，综合可得结论（2）设点D（a，2a），根据圆D和圆C相内切，可得|CD|=|21|，求得a的值，可得D的坐标，从而求得圆D的方程解答：解：（1）由于直线l1过点A（1，0），且与圆C相切，当切线l1的斜率不存在时，直线l1的方程为x=1；当切线l1的斜率存在时，设直线l1的方程为y0=k（x+1），即kxy+k=0，根据圆心C（3，4）到直线l1的距离等于半径，可得=2，求得k=，故直线l1的方程为3x+4y+3=0综上可得，直线l1的
23、方程为x=1或3x+4y+3=0（2）设点D（a，2a），根据圆D和圆C相内切，可得|CD|=|21|，即=1，求得a=2，或 a=3，故点D（2，4）或D（3，5），圆D的方程为 （x+2）2+（y4）2=1，或（x+3）2+（y5）2=1点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，圆和圆相内切的性质，点到直线的距离公式、两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题17（14分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，PD底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是被AD、PC的中点，（1）求证：DN平面PMB；（2）求证：平面PMB平面PAD；（3）求三棱锥
24、APMB的体积考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（1）要证DN平面PMB，只要证DNMQ；（2）要证平面PMB平面PAD，只要证MB平面PAD；（3）利用PD是三棱锥PAMB的高PD=2，棱锥APMB的体积=棱锥PAMB的体积，利用棱锥的体积公式解之解答：解：（1）证明：取PB的中点Q，连接MQ，NQ，M，N分别是棱AD，PC的中点，QNBCMD，并且QN=MD，四边形MDNQ为平行四边形，DNMQ，又MQ平面PMB，DN平面PMB，DN平面PMB；（2）PD平面ABCD，MB平面ABCD，PDMB；底面ABCD是菱形，BAD=60，ABD是等边三
25、角形，M为AD的中点，MBAD，又ADPD=D，MB平面PAD，又MB平面PMB，平面PMB平面PAD；（3）PD平面ABCD，PD是三棱锥PAMB的高PD=2，=点评：本题考查了几何体棱锥中线面平行和面面垂直的判断以及棱锥体积的求法；关键是转化为线线关系解答18（14分）某厂生产A产品的年固定成本为250万元，若A产品的年产量为x万件，则需另投入成本C（x）（万元）已知A产品年产量不超过80万件时，C（x）=x2+10x；A产品年产量大于80万件时，C（x）=51x+1450因设备限制，A产品年产量不超过200万件现已知A产品的售价为50元/件，且年内生产的A产品能全部销售完设该厂生产A产品
26、的年利润为L（万元）（1）写出L关于x的函数解析式L（x）；（2）当年产量为多少时，该厂生产A产品所获的利润最大？考点：函数模型的选择与应用 专题：函数的性质及应用分析：（1）利润L（x）等于销售收入减去固定成本再减去投入成本C（x），根据产量的范围列出分段函数解析式；（2）当0x80时，利用配方法求二次函数的最值，当80x200时，利用基本不等式求最值解答：解：（1）由题意知L（x）=50xC（x）250=；（2）当0x80时，所以当x=60时，L（x）max=L（60）=950；当80x200时，当且仅当，即x=180时，“=”成立因为180（80，200，所以L（x）max=920950
27、答：当年产量为60万件时，该厂所获利润最大点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了分段函数的值域的求法，训练了利用配方法求二次函数的最值及利用基本不等式求最值，是中档题19（14分）已知数列an，an2，an+1=，a1=3（1）证明：数列是等差数列（2）设bn=an2，数列bnbn+1的前n项和为Sn，求使（2n+1）2n+2Sn（2n3）2n+1+192成立的最小正整数n考点：数列的求和；等差关系的确定 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）利用等差数列的定义，进行证明即可；（2）确定数列bnbn+1的通项，利用裂项法求和，即可得出结论解答：（1）证明：由得（2分）an2，（5分
28、）数列是公差为2的等差数列 （6分）（2）解：由知（7分），（9分）=（11分）故等价于n2n+2（2n3）2n+1+192即2n+164=26，故n5（13分）使成立的最小正整数n=6 （14分）点评：本题考查等差数列的证明，考查数列通项公式及其前n项和公式的求法，其中涉及错裂项法求和在问题中的应用20（14分）已知函数f（x）=ax2（2a+1）x+2lnx（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=4处的切线相互平行，求a的值；（2）试讨论f=f（x）的单调性；（3）设g（x）=x22x，对任意的x1（0，2，均存在x2（0，2，使得f（x1）g（x2），试求实数a的取值范围考点：导数在最大值
29、、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1和x=4处的切线相互平行，即可求a的值；（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得y=f（x）的单调性；（3）已知，在（0，2上有f（x）maxg（x）max，分类讨论，求最值，即可求实数a的取值范围解答：解：（1）f（x）=ax2（2a+1）x+2lnx，f（x）=ax（2a+1）x+（x0），依题意，f（1）=f（4），即a（2a+1）+2=4a（2a+1）+，解得a=；（2）f（x）=（x0）a0时，x0，ax10，在（0，2）
30、上，f（x）0；在（2，+）上，f（x）0，f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+）；0a时，2，在（0，2），（，+）上，f（x）0；在（2，）上，f（x）0，f（x）的单调递增区间是（0，2），（，+），单调递减区间是（2，）；a=时，f（x）=，f（x）的单调递增区间是（0，+）；a时，02，在（0，），（2，+）上，f（x）0；在（，2）上，f（x）0，f（x）的单调递增区间是（0，），（2，+），单调递减区间是（，2）；（3）由已知，在（0，2上有f（x）maxg（x）max，g（x）max=0，由（2）知，a时，f（x）在（0，2上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a2+2ln2，2a2+2ln20，可得aln21，ln21a；a时，f（x）的单调递增区间是（0，），（2，+），单调递减区间是（，2），故f（x）max=f（）=22lna，由a可知lnalnln=1，2lna2，2=2lna0，f（x）max0，综上所述，aln21点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值及恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题
