1、第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014北京西城区模拟)在ABC中，若a4，b3，cos A，则B()A. B. C. D. 解析因为cos A，所以sin A，由正弦定理，得，所以sin B，又因为ba，所以B，B，故选A.答案A2(2015合肥模拟)在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B. C2 D2 解析因为SABACsin A2AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos 603，所以BC.答案B3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22 B
2、.1 C22 D.1 解析由正弦定理及已知条件，得c2，又sin Asin(BC).从而SABCbcsin A221.答案B4(2014长沙模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析依题意，由a2bcos C及正弦定理，得sin A2sin Bcos C，sin(BC)2sin Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos Csin(CB)0，CB，ABC是等腰三角形；反过来，由ABC是等腰三角形不能得知CB，a2bcos C因此
3、，“a2bcos C”是“ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，故选A.答案A5(2014四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m 解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m，在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m)答案C二、填空题6(2014惠州模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_解析由余弦定理，得co
4、s B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或.答案或7(2014广东卷)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos Cccos B2b，则_解析由已知及余弦定理得bc2b，化简得a2b，则2.答案28设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a1，b2，cos C，则sin B_解析由余弦定理，得c2a2b22abcos C4，即c2.由cos C得sin C.由正弦定理，得sin B(或者因为c2，所以bc2，即三角形为等腰三角形，所以sin Bsin C)答案三、解答题9(2014湖南卷)如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC.(1
5、)求cosCAD的值；(2)若cosBAD，sin CBA，求BC的长解(1)在ADC中，由余弦定理，得cosCAD.故由题设知，cosCAD.(2)设BAC，则BADCAD.因为cosCAD，cosBAD，所以sin CAD，sin BAD.于是sin sin(BADCAD)sin BADcosCADcosBADsin CAD.在ABC中，由正弦定理，.故BC3.10(2014安徽卷)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解(1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因为b3
6、，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A，所以sin A.故sinsin Acoscos Asin.能力提升题组(建议用时：25分钟)11(2014东北三省四市联考)在ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足1，则角A的范围是()A. B. C. D.解析由1，得b(ab)c(ac)(ac)(ab)，化简得b2c2a2bc，即，即cos A(0A)，所以0A，故选A.答案A12(2015青岛模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin Aacos C，则sin Asin B的最大值是 ()A1 B.C. D3解析由csin Aa
7、cos C，得sin Csin Asin Acos C，又在ABC中sin A0，所以sin Ccos C，tan C，C(0，)，所以C.所以sin Asin Bsin Asinsin Acos Asin，A，所以当A时，sin Asin B取得最大值，故选C.答案C13在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_解析由正弦定理知，AB2sin C，BC2sin A.又AC120，AB2BC2sin C4sin(120C)2(sin C2sin 120cos C2cos 120sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C)，其中tan ，是第一象限角，由于0C120，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2.答案214ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值解(1)由已知及正弦定理，得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理，得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.