1、第7讲立体几何中的向量方法（二）求空间角基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014广东卷改编)已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是_(填序号)(1,1,0)；(1，1,0)；(0，1,1)；(1,0,1)解析 经检验，中向量(1，1,0)与向量a(1,0，1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60.答案2(2014新课标全国卷改编)直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为_解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)
2、，N(1,0,2)，所以(1，1,2)，(1,0,2)，故BM与AN所成角的余弦值cos .答案3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且1，N为B1B的中点，则|为_解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A( a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且1，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，| a.答案a4已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_解析 cosm，n，m，n.两平面所成二面角的大小为或.答案或5在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，
3、则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n (2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.答案6 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_解析以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)
4、，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，所以有即解得.n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)， cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.答案7在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为_解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0,0，0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离PAPBPC，H为ABC的外心又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标
5、为.PHa.点P到平面ABC的距离为a.答案a8. 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则(0，1,1)，(2,0,2)，2，cos，EF和BC1所成的角为60.答案60二、解答题9(2014浙江卷)如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角B
6、ADE的大小(1)证明在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC，由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC，又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE，所以ACDE.又DEDC，DCACC，从而DE平面ACD.(2)解以D为原点，分别以射线DE，DC为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示由题意知各点坐标如下：D(0,0,0)，E(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,2，)，B(1,1,0)设平面ADE的法向量为m(x1，y1，z1), 平面ABD的法向量为n(x2，y2，z2)，可算得(0，2，)，(1，2，)，(1,1,0)，由即可取m(0,1
7、，)由即可取n (1，1，)于是|cosm，n|，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角BADE的大小是.10(2015扬州模拟)如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CPm.(1)若m1，求异面直线AP与BD1所成角的余弦；(2)是否存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值是？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,2)，D1(0,0,2)所以(1，1,2)，(1,1,1)cos，即
8、异面直线AP与BD1所成角的余弦是.(2)假设存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，则(1,1,0)，(1,0,2)，(1,1，m)，设平面AB1D1的法向量为n(x，y，z)，则由得取x2，得平面AB1D1的一个法向量为n(2，2,1)直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，解得m，因为0m2，所以m满足条件，所以当m时，直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于.能力提升题组(建议用时：25分钟)1正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为_解析取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC1，则A，B，D.，.由于为平面BCD的一个
9、法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n(1，1), cosn， sinn，.答案2在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa.则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，设n(x，y，z)，则解得可取n(0,1,1)，则 cos，n，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案303(2015南京一模)P是二面角AB棱上的一点，分别在平面、上引射线PM
10、、PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_解析不妨设PM a，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0.，二面角AB的大小为90.答案904(2014天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值(1)证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，
11、C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以BEDC.(2)解向量(1,2,0)，(1,0，2)，设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，于是有cosn，.所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)解向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点F在棱PC上，设 ，01.故 (12，22，2)由 BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即.设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，则 cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.