1、2015-2016学年广西来宾高级中学高二（下）6月月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1已知集合A=1，2，3，4，B=x|x=n2，nA，则AB=（）A1，4B2，3C9，16D1，22若（1ai）（3+2i）为纯虚数，则实数a的值为（）ABCD3“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ay=By=exCy=x2+1Dy=lg|x|5在ABC中，a=3，b=2，cosC=
2、，则ABC的面积为（）A3B2C4D6在等差数列an中，设Sn为其前n项和，已知，则等于（）ABCD7已知函数f（x）=4x2mx+5在区间2，+）上是增函数，在区间（，2上是减函数，则f（1）等于（）A7B1C17D258若ab0，则下列不等式不成立的是（）AB|a|b|Ca+b2D（）a（）b9某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A63.6万元B65.5万元C67.7万元D72.0万元10已知P是双曲线=1（a0，b0）上的点，F1，F2是其焦点
3、，双曲线的离心率是，且=0，若PF1F2的面积为9，则a+b的值为（）A8B7C6D511若，eab，则（）Af（a）f（b）Bf（a）=f（b）Cf（a）f（b）Df（a）f（b）112已知ba0，且ab=1，则取得最小值时，a+b等于（）ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案直接填在答题卡上.）13抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是14设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为15已知圆的极坐标方程为=4cos，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=16已知x2+y2=10，则3x+4y的最大值是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，
4、证明过程或演算步骤17设函数（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围18设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（）求ABC的周长；（）求cos（AC）的值19已知等差数列an的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列（）求an的通项公式；（）求a1+a4+a7+a3n220如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90（1）求证：PCBC；（2）求点A到平面PBC的距离21已知函数f（x）=x21与函数g（x）=alnx（a0）（）
5、若f（x），g（x）的图象在点（1，0）处有公共的切线，求实数a的值；（）设F（x）=f（x）2g（x），求函数F（x）的极值22已知椭圆C：（ab0）的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由2015-2016学年广西来宾高级中学高二（下）6月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1已知集合A=1，2，3
6、，4，B=x|x=n2，nA，则AB=（）A1，4B2，3C9，16D1，2【考点】交集及其运算【分析】由集合A中的元素分别平方求出x的值，确定出集合B，找出两集合的公共元素，即可求出交集【解答】解：根据题意得：x=1，4，9，16，即B=1，4，9，16，A=1，2，3，4，AB=1，4故选A2若（1ai）（3+2i）为纯虚数，则实数a的值为（）ABCD【考点】复数的基本概念【分析】若（1ai）（3+2i）为纯虚数，根据虚数的定义，可知，展开后，实部为0，虚部不为零，构造方程不难求出对应a的值【解答】解：（1ai）（3+2i）=（3+2a）+（23a）i又（1ai）（3+2i）为纯虚数故3+
7、2a=0解得a=；故选A3“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【分析】“p或q为真命题”只要p和q中至少有一个真命题即可，而“p且q为真命题”是p和q均为真命题【解答】解：“p或q为真命题”只要p和q中至少有一个真命题即可，而“p且q为真命题”是p和q均为真命题故“p或q为真命题”“p且q为真命题”，反之不一定成立故选：B4下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ay=By=exCy=x2+1Dy=lg|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【分析】根据偶函数的定
8、义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+）上单调递减，D在区间（0，+）上单调递增，可得结论【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+）上单调递减，D在区间（0，+）上单调递增，故选：C5在ABC中，a=3，b=2，cosC=，则ABC的面积为（）A3B2C4D【考点】三角形的面积公式；同角三角函数间的基本关系【分析】根据三角形内角的范围，利用同角三角函数的关系算出sinC=再由三角形的面积公式加以计算，可得ABC的面积【解答】解：在ABC中，cosC=，A（0，），可得sinC=因此，ABC的面积为S=absinC=4故选：C6在等差数列an中，设Sn为其前n
9、项和，已知，则等于（）ABCD【考点】等差数列的性质【分析】先根据条件设a2=t，a3=3t，求出公差d和首项a1，进而求出S4和S5，进而求出【解答】解：，设a2=t，a3=3td=a3a2=2t，a1=a2d=tS4=4a1+=8t，S5=5a1+=15t=故选A7已知函数f（x）=4x2mx+5在区间2，+）上是增函数，在区间（，2上是减函数，则f（1）等于（）A7B1C17D25【考点】函数单调性的判断与证明【分析】由已知中函数的单调区间，可得函数f（x）=4x2mx+5的图象关于直线x=2对称，由对称轴直线方程求出m值后，代入可得f（1）的值【解答】解：函数f（x）=4x2mx+5在
10、区间2，+）上是增函数，在区间（，2上是减函数，故函数f（x）=4x2mx+5的图象关于直线x=2对称；故=2解得m=16故f（x）=4x2+16x+5f（1）=4+16+5=25故选D8若ab0，则下列不等式不成立的是（）AB|a|b|Ca+b2D（）a（）b【考点】不等式比较大小【分析】由不等式的性质对，A，B，C，D逐个判断即可【解答】解：ab0，A正确；|a|b|，B正确；又y=为减函数，故D正确；不妨令a=b=4，a+b=8，2=8，a+b=2，故C错误故选C9某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=
11、x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A63.6万元B65.5万元C67.7万元D72.0万元【考点】线性回归方程【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果【解答】解：=3.5，=42，数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，42=9.43.5+a，=9.1，线性回归方程是y=9.4x+9.1，广告费用为6万元时销售额为9.46+9.1=65.5，故选：B10已知P是双曲线=1（a0，b0）上的点，F1，F2是其焦点，双曲线的离心率是，且=0，若PF1F
12、2的面积为9，则a+b的值为（）A8B7C6D5【考点】椭圆的简单性质【分析】如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上设|PF1|=m，|PF2|=n可得mn=2a，m2+n2=4c2，消去m，n可得：b再利用，c2=a2+b2可得a【解答】解：如图所示，不妨设点P在双曲线的右支上设|PF1|=m，|PF2|=n则mn=2a，m2+n2=4c2，消去m，n可得：b=3，c2=a2+b2=a2+b2，解得=16，a=4a+b=7故选：B11若，eab，则（）Af（a）f（b）Bf（a）=f（b）Cf（a）f（b）Df（a）f（b）1【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质【分析】利用导数的
13、四则运算，求函数f（x）的导函数，利用导数证明函数f（x）为（e，+）上的单调减函数，最后利用函数单调性比较大小即可【解答】解：f（x）=当x（e，+）时，f（x）0，函数f（x）为（e，+）上的单调减函数eab，f（a）f（b）故选 A12已知ba0，且ab=1，则取得最小值时，a+b等于（）ABCD【考点】基本不等式【分析】将变形为，则取得最小值时即ab=，再根据ba0，且ab=1即可求出a+b【解答】解：ab=1=ba0（当且仅当ab=）即取得最小值时，满足（a+b）2=（ab）2+4ab=6ba0a+b=故选B二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案直接填在答题卡上.）
14、13抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是【考点】抛物线的简单性质【分析】将抛物线方程化成标准形式得：x2=y，所以抛物线的焦点坐标为F（0，），准线方程为：y=，由此得到该抛物线的焦点坐标【解答】解：抛物线y=2x2化成标准方程，可得x2=y抛物线的开口向上，且2p=，可得=抛物线的焦点坐标为F（0，），准线方程为：y=因此抛物线的焦点到准线的距离是故答案为：14设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为13【考点】简单线性规划【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+4y的最大值【解答】解：由约束条件得如图
15、所示的三角形区域，三个顶点坐标为A（1，2），B（2，2），C（，）将三个代入得z的值分别为10，12，13直线z=2x+4y过点C时，z取得最大值为13；故答案为：1315已知圆的极坐标方程为=4cos，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化【分析】求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化P的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可【解答】解：圆的极坐标方程为=4cos，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0），点P的极坐标为，所以P的直角坐标（2，2），所以|CP|=2故答案为：216已知x2+y2=10，则3x+4
16、y的最大值是5【考点】圆的参数方程【分析】令z=3x+4y，可得直线y=+ 在y轴上的截距为，当直线和圆x2+y2=10相切时，取得最值，z取得最值根据直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出z的值，从而得到z的最大值【解答】解：令z=3x+4y，即y=+，故直线y=+ 在y轴上的截距为，故当直线y=+ 在y轴上的截距最大时，z最大根据题意可得，当直线和圆x2+y2=10相切时，取得最值由= 可得z=5，故z的最大值为5故答案为：5三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17设函数（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R
17、，试求a的取值范围【考点】函数的定义域及其求法【分析】（1）在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x+2|和y=5的图象，结合图象写出：|x+1|+|x+2|50的解集，就是所求函数的定义域（2）由题意知，xR时，|x+1|+|x+2|a 恒成立，故，|x+1|+|x+2|的最小值大于或等于a，从而得到a的取值范围【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x+2|50，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x+2|和y=5的图象，由图象知定义域为（，41，+） （2）由题设知，当xR时，恒有|x+1|+|x+2|a0，即|x+1|+|x+2|a，又由（1）|x+1|+|x+2|1，a118
18、设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（）求ABC的周长；（）求cos（AC）的值【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数【分析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值【解答】解：
19、（I）c2=a2+b22abcosC=1+44=4，c=2，ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5（II）cosC=，sinC=sinA=ac，AC，故A为锐角则cosA=，cos（AC）=cosAcosC+sinAsinC=+=19已知等差数列an的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列（）求an的通项公式；（）求a1+a4+a7+a3n2【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【分析】（I）设等差数列an的公差为d0，利用成等比数列的定义可得，再利用等差数列的通项公式可得，化为d（2a1+25d）=0，解出d即可得到通项公式an；（II）由（I）可得a
20、3n2=2（3n2）+27=6n+31，可知此数列是以25为首项，6为公差的等差数列利用等差数列的前n项和公式即可得出a1+a4+a7+a3n2【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d0，由题意a1，a11，a13成等比数列，化为d（2a1+25d）=0，d0，225+25d=0，解得d=2an=25+（n1）（2）=2n+27（II）由（I）可得a3n2=2（3n2）+27=6n+31，可知此数列是以25为首项，6为公差的等差数列Sn=a1+a4+a7+a3n2=3n2+28n20如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90（1）求证
21、：PCBC；（2）求点A到平面PBC的距离【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系【分析】（1），要证明PCBC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90，容易证明BC平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易
22、求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥PACB与三棱锥APBC体积相等，而三棱锥PACB体积易求，三棱锥APBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求【解答】解：（1）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC由BCD=90，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD因为PC平面PCD，故PCBC（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍由（1）知：BC平面PCD，所以平面
23、PBC平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于（方法二）等体积法：连接AC设点A到平面PBC的距离为h因为ABDC，BCD=90，所以ABC=90从而AB=2，BC=1，得ABC的面积SABC=1由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥PABC的体积因为PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC又PD=DC=1，所以由PCBC，BC=1，得PBC的面积由VAPBC=VPABC，得，故点A到平面PBC的距离等于21已知函数f（x）=x21与函数g（x）=alnx（a0）（）若f（x），g（x）的图象在点（1，0
24、）处有公共的切线，求实数a的值；（）设F（x）=f（x）2g（x），求函数F（x）的极值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【分析】（I）先判定点（1，0）与函数f（x），g（x）的图象的位置关系，然后分别求出在x=1处的导数，根据函数f（x），g（x）的图象在点（1，0）处有公共的切线，建立等量关系，求出a的值；（II）先求出F（x）的解析式和定义域，然后在定义域内研究F（x）的导函数，讨论a的正负，分别判定F（x）=0的值附近的导数符号，确定极值【解答】解：（I）因为f（1）=0，g（1）=0，所以点（1，0）同时在函数f（x），g（x）的图象上因为f（x）=x2
25、1，g（x）=alnx，f（x）=2x，由已知，得f（1）=g（1），所以，即a=2（II）因为F（x）=f（x）2g（x）=x212alnx（x0）所以当a0时，因为x0，且x2a0，所以F（x）0对x0恒成立，所以F（x）在（0，+）上单调递增，F（x）无极值当a0时，令F（x）=0，解得（舍）所以当x0时，F（x），F（x）的变化情况如下表： x （0，） （，+） F（x） 0+ F（x） 极小值所以当时，F（x）取得极小值，且综上，当a0时，函数F（x）在（0，+）上无极值；当a0时，函数F（x）在处取得极小值a1alna22已知椭圆C：（ab0）的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P
26、到焦点的距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）利用椭圆的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，建立方程组，求出几何量，即可得到椭圆的方程；（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及x1x2+y1y2=0，即可求得结论【解答】解：（1）椭圆的离心率为，椭圆C的短轴的一个端点P到焦点的距离为2，a=2，b=1椭圆C的方程为；（2）将y=kx+代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+x1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个根，x1+x2=，x1x2=由题意知：OAOB，则x1x2+y1y2=0又y1=kx1+，y2=kx2+，则x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+3=0，（1+k2）（）+k（）+3=0k=满足条件2016年11月27日