1、专题六 立体几何第一讲 空间几何体的三视图，表面积与体积（一）考点解读高考考点考点解读空间几何体的三视图与直观图的关系1.根据某几何体的部分三视图，判断该几何体的其他三视图；或者已知某几何体的三视图，判断该几何体的形状2.考查三视图的画法以及数量关系空间几何体的表面积与体积的计算1.以三视图为命题背景，考查空间几何体体积、表面积的计算方法2.以空间几何体为命题背景考查空间几何体体积、表面积的计算方法多面体与球的切、接问题以球与多面体为背景，考查球的截面性质（二）核心知识整合考点1：空间几何体的三视图和直观图1.空间几何体的三视图(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、
2、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”(2)画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高(3)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面2.空间几何体的直观图空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45(或135)，平行长不变，垂直长减半”典型例题1.某几何体的三视图如图所示(单位：，则该几何体的体积(单位：是()A.B.C.D. 答案：C解析 根据三视图知，该几何体由一个直四棱柱和一个圆柱组成的组合体；如图所示：计算该组合体的体
3、积为.故选C.2.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.8答案：C解析 该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥，红色线四棱锥为三视图还原后的几何体，CBA和ACD是两个全等的直角三角形：，所以体积.故选C.规律总结1由直观图确认三视图的方法根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认2由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状提醒：在读图或者画空间几何体的三视图时，要注意三视图中的实虚线，避免造成对空间几何体的认识不准
4、确或对三视图理解有差错跟踪训练1.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.答案：A解析 由三视图可得该几何体是正四棱柱挖掉一个圆柱，底面是正视图中图形（边长为2的正方形截去一个半径为1的圆），底面积为,该柱体的高为4,则该柱体的体积为.故选A.2.如图所示是某几何体的三视图，则它的表面积等于( )A.B.C.D.答案：A解析 由三视图可得几何体的直观图，如图所示.所以，所以几何体的表面积.故选A.考点2：柱体、锥体、台体、球的表面积与体积1.棱柱体积：V棱柱Sh(S为底面积，h为高)表面积：S棱柱2S底面S侧面2棱锥体积：V棱锥Sh. (S为
5、底面积，h为高)表面积：S棱锥S底面S侧面3棱台体积：V棱台h(SS)(S、S为底面积，h为高)表面积：S棱台S上底S下底S侧面4圆柱体积：V圆柱r2h (r为底面半径，h为高)表面积：S圆柱2rl2r2(r为底面半径，l为母线长)5.圆锥体积：V圆锥r2h(r为底面半径，h为高)表面积：S圆锥rlr2(r为底面半径，l为母线长)6.圆台体积：V圆台h(r2rrr2)(r、r为底面半径，h为高)表面积：S圆台(rr)lr2r27.球体积：V球R3 (R为球的半径)表面积：S球4R2典型例题1.如图8-1-14所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得
6、几何体的表面积为( )A. B. C. D. 答案：A解析 所得几何体为正方体中挖去一个圆柱,故表面积应为正方体表面积减去圆柱两底面积再加上圆柱的侧面积.所得几何体的表面积为.故选A.2.如图，在直三棱柱中，分别是的中点，则下列说法不正确的是( )A.直线平面B.C.D.三棱锥的体积为答案：D解析 如图，取的中点E，连结，则，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，所以平面，故A正确；由上述可知异面直线MN与所成角即为直线与所成角，又为等腰三角形，所以，所以异面直线MN与所成角为，故B项正确；连接，则，所以，又，所以，且，所以异面直线MN与AB所成角为，所以异面直线MN与AB所成角不等于，故C不
7、正确；三棱锥的体积，故D正确.规律总结求几何体的表面积与体积问题，熟记公式是关键，应多角度全方位的考虑1给出几何体的形状、几何量求体积或表面积，直接套用公式2用三视图给出几何体，先依据三视图规则想象几何体的形状特征，必要时画出直观图，找出其几何量代入相应公式计算3用直观图给出几何体，先依据线、面位置关系的判定与性质定理讨论分析几何体的形状特征，再求体积或表面积4求几何体的体积常用等积转化的方法，转换原则是其高易求，底面在几何体的某一面上，求不规则几何体的体积，主要用割补法跟踪训练1.如图，四边形是正方形，四边形是矩形，平面平面，则多面体的体积为（ ）ABCD答案：D解析 连接BD，AC，四边形
8、BDEF为矩形，平面平面ABCD，平面平面，平面，平面ABCD，又平面ABCD，设，则，又，为等边三角形，即，解得，四边形ABCD为正方形，平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，平面BDEF，多面体ABCDEF体积，故选D2.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( )A.B.C.D.答案：D解析 本题考查棱台的体积.将正四棱台补成四棱锥，作底面ABCD于点O，交平面于点，则棱台的体积.由题意，易知，而，所以，则 ，所以棱台的体积.故选D考点3：多面体与球多面体与球切、接问题的求解方法(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接
9、、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2a2b2c2求解 典型例题1.已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为( )A.B.C.D.答案：D解析 如图，是等腰直角三角形，为截面圆的直径，外接球的球心O在截面ABC上的射影为AC的中点D，当P，O，D共线且P，O位于截面ABC同一侧时三棱锥的体积最大，高最大，此时三棱锥的高为PD，解得.连接OC，设外接球的半径为R，则，在中，由勾股定理
10、得，解得.三棱锥的外接球的体积，故选D.2.已知在三棱锥中，的内切圆圆O的半径为2，平面ABC，且三棱锥的三个侧面与底面所成角都为60，则该三棱锥的内切球的体积为( )A.B.C.D.答案：A解析 设三棱锥的内切球的半径为R，过O作于点D，于点E，于点F，则.连接PD，易证，因为三棱锥的三个侧面与底面所成角都为60，所以，则，.由题意可知三棱锥的内切球的球心在线段PO上，在中，即，解得.所以该三棱锥的内切球的体积为，故选A.规律总结(1)正方体的内切球的直径为正方体的棱长(2)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长(3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解跟踪训练1.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )A.RB.2RC.D.答案：C解析 设圆锥的高为h，底面半径为r，体积为V，则，所以，所以，令，得，当时，；当时，所以当时，圆锥体积最大. 故选C.2.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且，则此棱锥的体积为( )A.B.C.D.答案：A解析 在直角三角形中,所以;同理,.过点作的垂线交于点,连接,因为,故,故平面,且为等腰三角形.因为,故,则的面积为,则三棱锥的体积为.故选A.