1、高21届第三学期入学考试数学试题一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1不等式的解集为（ ）A或 B C或 D2设，且，则下列不等式成立的是（ ）A B C D3已知外接圆的半经为，则等于（ ）A B C D不确定4. 已知平面向量的夹角为，则ABCD5. 已知等差数列的前项和为， ，则当取得最小值时，的值为AB CD6. 正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A. B16 C9 D.7.在中，内角的对边分别是，已知，则此三角形的解的情况是A无解B一解 C两解D无法确定8等比数列的前项和为，已知，则等于（
2、）A81 B17 C24 D739. 用篱笆围一个面积为矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）A. 30B. 36C. 40D. 5010. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为()A. 8 B. C. D. 411.在中，是边上的一点（包括端点），则的取值范围是ABCD12.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步，然后再后退步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(步的距离为个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是A B.D二、填空
3、题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若向量，且，则实数的值为 14已知数列成等差数列，且，则 15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 _ m. 16设的内角所对的边分别为，已知，则的最大值为 。三、解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分10分）在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列是公比为2的等比数列，求数列的前项和. 18（本小题满分12分）如图，在边长
4、为1的正六边形中，为边上一点，且满足，设，. 第18题（1）若，试用，表示和； （2）若，求的值.19. (本题满分12分)在中，内角的对边分别为.已知：.（）求的值；（）若，,求的面积.20. (本题满分12分)已知函数.() 求的最小值及相应的值；() 解关于的不等式：.21（本题满分12分）已知三边是连续的三个自然数（）求最小边的取值范围；（）是否存在这样的，使得其最大内角是最小内角的两倍？若存在，试求出这个三角形的三边；若不存在，请说明理由22（本题满分12分）已知数列满足，其中(1)设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立
5、？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由高21届第三学期入学考试数学试题答案一、选择题：123456789101112BDCCCABDCBDD二、填空题（每题5分，满分20分，）13._ 2_ 14. _15. _ 16. _三、解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. 解：（1）设公差为，由 .（3分） （4分）（2）由题： .（6分） .（8分） .（10分）18解 ：记正六边形的中心为点，连结，在平行四边形中，在平行四边形中=4分6分 若，8分又因为，所以.12分19.解：（）由正弦定理得所以=,即,即,所以
6、6分（）由（）知: =2,即,又因为,所以由余弦定理得：，即,解得,所以。又因为，故的面积为12分20.解：() 故等号成立条件：故当时,. 6分() (1)当时,解集为；(2)当时,解集为. 12分21. 解：（）设角所对的边分别是，且，由题意，所以，所以最小边的取值范围是4分（II）由题意，三个角中最大角为，最小角为由正弦定理得5分得7分又解得(舍去) 10分所以三角形的三边分别为 11分所以存在唯一同时满足以下两条件:三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍.12分另解: ，三个角中最大角为，最小角为则,5分由余弦定理得7分代入上式化简得,解得,10分所以三角形的三边分别为 所以存在唯一同时满足以下两条件:三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍. 12分22.解：（1） 数列是以为首项，为公差的等差数列.4分 5分，解得 6分（2）由（1）得. 7分 9分，解得或，10分 .，且为正整数.，且存在正整数，使得对于恒成立，的最小值为.12分