1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。3.3二项式定理与杨辉三角第1课时二项式定理必备知识自主学习导思什么是二项式？二项式如何展开？1.二项式定理二项式定理(ab)nanan1b1ankbkbn(nN*)二项展开式公式右边的式子二项式系数C(k0，1，2，n)二项展开式的通项公式Tk12二项展开式的特点(1)展开式共有n1项(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.(1)二
2、项展开式中的项Canrbr是第几项？提示：Canrbr是(ab)n的第r1项(2)二项式中a，b能否交换位置，二项式(ab)n与(ba)n展开式中第r1项是否相同？提示：不能，(ab)n展开式中的第r1项为Canrbr，(ba)n展开式中的第r1项为Cbnrar，两者是有区别的，所以在应用二项式定理时，a和b不能随便交换位置1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的()提示：二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等，只有当a，b的系数都为1时两者相等(2)(x1)5的展开式中x4项的系数为5.()提示：(x1)5的展开式中x4项的系数为5.(3)(ab
3、)n的展开式中一定有常数项()提示：(ab)n的展开式中通项Canrbr的次数不一定为0.2.的展开式共有11项，则n等于()A9 B10 C11 D8【解析】选B. 的展开式共有n1项，所以n111，故n10.3二项式(12x)9的展开式中x6的系数为()AC BC CC26 DC26【解析】选C.二项式(12x)9CC(2x)C(2x)kC(2x)9，其展开式中x6的系数为：C(2)6C26.关键能力合作学习类型一二项展开式通项的应用(数学运算)角度1二项式系数、项的系数【典例】1.已知二项式(2x1)5，则展开式中含x2项的系数为_.【思路导引】先求得二项展开式的通项公式，再令x的指数等
4、于2，求得k的值，即可求得含x2项的系数【解析】二项式(2x1)5的展开式的通项公式为Tk1C25kx5k，令5k2，求得k3，可得展开式中含x2项的系数为C2240.答案：402已知二项式(3)10.(1)求展开式第4项的二项式系数(2)求展开式第4项的系数【思路导引】先写出(3)10展开式的通项，再根据题中的要求求解【解析】(3)10的展开式的通项是Tk1C(3)10k()kC310k()kx(k0，1，2，10).(1)展开式的第4项(k3)的二项式系数为C120.(2)展开式的第4项的系数为C37()377 760.角度2展开式中的特定项【典例】1.(2021北京新高考)的展开式中的常
5、数项是_【思路导引】先写出二项展开式的通项公式，根据通项公式求常数项【解析】1.Cx34.答案：42已知(x2)n的展开式的各项系数和比二项式系数和大211.(1)求n的值(2)求展开式中所有有理项【思路导引】(1)由题意，二项展开式的各项系数和比二项式系数和大211，得出3n2n211，即可求解(2)由题意，得出展开式的通项，确定r的取值，即可得到展开式中的有理项，得到答案【解析】(1)由题意，二项式(x2)n的展开式的各项系数和比二项式系数和大211，可得3n2n211，解得n5.(2)展开式的通项为Tr1Cx5r(2)rC2rx5(r0，1，5)，当r0，2，4时5是整数故展开式中所有有
6、理项为：T1x5，T340x4，T580x3. 1求二项展开式特定项的步骤2正确区分二项式系数与该项的系数二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关1.的展开式中的常数项为()A3B3C6D6【解析】选D.通项Tr1C (x4)rC()3r(1)rx66r，当66r0，即r1时为常数项，T26.2(12x)6的展开式的第三项为()A60 B120 C60x2 D120x3【解析】选C.(12x)6的展开式的第三项T3C(2x)260x2.3在的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数(2)x2的系数【解
7、析】(1)T5T41C(2x2)84C24，所以第5项的二项式系数是C70，第5项的系数是C241 120.(2)(2x2)8的通项是C(2x2)8r()r(1)rC28r由题意，得16r2，解得r6，因此，x2的系数是(1)6C112.类型二二项式定理的正用和逆用【典例】(1)求的展开式；(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.四步内容理解题意条件：(1) ；(2)C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.结论：(1)求展开式；(2)化简思路探求(1)直接运用二项式定理，或者先将括号内通分化简再运用定理；(2)将x
8、1看作一个整体，然后逆用二项式定理书写表达(1)方法一：C()4C()3C()2CCx22x.方法二：(2x1)4(16x432x324x28x1)x22x.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.注意书写的规范性：注意()4不要写作；最终结果最好按x的降幂排列题后反思二项式定理既能正用，也能逆用，逆用复杂一点 运用二项式定理的解题策略(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂形如(ab)n的展开式中会出现正负间隔的情况对较繁杂的式子，先
9、化简再用二项式定理展开(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数提醒：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(ab)n的形式1化简(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)_【解析】原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C1(x1)151x51.答案：x512写出的展开式并化简【解析】Cx420Cx321Cx222Cx123Cx024x48x324x232x16.【补偿训练】1.若x5a0a1(x2)a2(x2)2a5(x2)5，则a0()A32 B2 C1 D32【解析
10、】选D.x5a0a1(x2)a2(x2)2a5(x2)5，令x20，即x2，可得a02532.2用二项式定理展开(x2y)4.【解析】(x2y)4Cx4Cx3(2y)Cx2(2y)2Cx(2y)3C(2y)4x48x3y24x2y232xy316y4.类型三二项式定理的灵活应用(数学运算、逻辑推理)1已知(2x1)4a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4，则a2_【解析】方法一：根据题意，(2x1)42(x1)14，其展开式的通项Tr1C2(x1)4r1r24rC(x1)4r，令r2得T322C(x1)224(x1)2，又由(2x1)4a0a1(x1)a2(x1)2a3(x
11、1)3a4(x1)4，则a224.方法二：换元令tx1即可方法三：题干中代数式，是f(x)(2x1)4在x1处的泰勒展开式，所以a2f(1).因为f(x)4(2x1)328(2x1)3，f(x)48(2x1)2，所以a2f(1)24.答案：242(2020全国卷)(xy)5的展开式中x3y3的系数为()A5B10C15D20【解析】选C.(xy)5展开式的通项公式为Tr1Cx5ryr(rN且r5)，所以与(xy)5展开式的乘积可表示为：xTr1xCx5ryrCx6ryr或Tr1Cx5ryrCx4ryr2，在xTr1Cx6ryr中，令r3，可得：xT4Cx3y3，该项中x3y3的系数为10，在T
12、r1Cx4ryr2中，令r1，可得：T2Cx3y3，该项中x3y3的系数为5，所以x3y3的系数为10515.3(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()A12 B16 C20 D24【解析】选A.(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为：1C2C12.4在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列(1)求展开式中二项式系数最大的项(2)求展开式中所有有理项的系数之和【解析】(1)由二项式定理得展开式中第r1项为Tr1C()rxnrC()r，r0，1，2，n所以前三项的系数的绝对值分别为1，C，C，由题意可得2C1C，整理得n29n80，解得n8或n1(舍去)，则展开式中二项式系
13、数最大的项是第五项，T5C()4 (2)因为Tr1C()r，若该项为有理项，则是整数，又因为0r8，所以r0或r3或r6，所以所有有理项的系数之和为C()0C()3C()617. 常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项).(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致典例备选三项展开式将(x1x2x3)3的各项展开并整理，可以得到(x1x2x3)3xxx3xx
14、23xx33x1x3x1x3xx33x2x6x1x2x3，右端的和式中，每项都是xn11xn22xn33的形式，其中，n，n2，n3都是非负整数，且n1n2n33，所以，xn11xn22xn33的系数为.例如：展开(2x13x25x3)6，则xx2x的系数为23(3)5236 000.课堂检测素养达标1(x2)8的展开式中x6的系数是()A28 B56 C112 D224【解析】选C.由T21Cx8222112x6，所以(x2)8的展开式中x6的系数是112.2(1i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第七项为()A210 B210 C120i D210i【解析】选A.由通项公式得T7C(i)
15、6C210.3. 展开式中的常数项为()A6 B8 C12 D24【解析】选D.展开式中通项公式Tr1Cx4r(2)rCx42r，当42r0时，展开式为常数，此时r2，展开式的常数项为：T34C24.4. 展开式中的常数项是70，则n_【解析】因为，所以Tk1C(1)kx2n2k，又因为展开式的常数项为70，令2n2k0得，kn，所以C(1)n70，又C70，所以n4.答案：45(1)求二项式的展开式；(2)化简：(x2)55(x2)410(x2)310(x2)25(x2).【解析】(1)C(3)4C(3)3C(3)2C(3)C81x2108x54.(2)原式C(x2)5C(x2)4C(x2)3C(x2)2C(x2)C(x2)01(x2)151(x1)51.关闭Word文档返回原板块