1、4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算 学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1理解n次方根及根式的概念(一般)2正确运用根式的运算性质进行根式运算(重点)3掌握根式与分数指数幂的互化(重点、易错点)4掌握有理数指数幂的运算性质(重点、难点)1通过根式与分数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养2通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养.公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生问题：若x23，
2、这样的x有几个？怎么表示？提示这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作.知识点1根式1有关幂的概念一般地，an中的a称为底数，n称为指数2根式的相关概念和性质(1)根式的概念一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xna，则x称为a的n次方根；当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数(2)根式的性质()na.1类比平方根、立方根，猜想：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？提示a为正数：a为负数：零的n次方根为零，记为0.1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)当nN*时，()n都有意义()(2)任意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数
3、()(3)3.()(4)0的任何指数幂都等于0.()提示(1)当n是偶数时，()n没有意义(2)负数没有偶次方根(3)|3|3.(3)正确(4)0的零次幂和0的负分数指数幂无意义故(4)错误答案(1)(2)(3)(4)2.下列等式成立的是()ABabCaDDA中，当a0，b0时等式不成立；B中，当ab0时等式不成立；C中，当a0时，等式不成立知识点2指数幂及其运算性质1分数指数幂(1)定义：一般地，如果n是正整数，那么：当有意义时，规定a；当没有意义时，称a没有意义(2)意义分数指数幂正分数指数幂a(a0)，a()m(a0，m，nN*，且为既约分数)负分数指数幂as(as有意义且a0)0的分数
4、指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(3)运算法则前提：s，t为任意有理数法则：asatast；(as)tast；(ab)sasbs.2.如何理解分数指数幂？提示(1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化；(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a0时，a可能会没有意义当a有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算；(3)运算性质：分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样记忆有理指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相减，幂相乘2实数指数幂无理指数幂at(a0，t是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算性质对于无理指数
5、幂同样适用因此当a0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义，对任意实数s和t，类似有理指数幂的运算法则仍然成立3.将5写为根式，正确的是()ABC DD将5写为根式，结果应是2次根下5的立方，所以5.4.若a0，则用根式形式表示a，用分数指数幂表示分别为()A，a3bB，abC，a3bD，abC当a0时，a用根式形式表示为，用分数指数幂表示为a3b. 类型1根式与分数指数幂的互化【例1】(1)若(x2)有意义，则实数x的取值范围是()A2，)B(，2C(2，)D(，2)(2)根式(式中a0)的分数指数幂的形式为()AaBaCaDa思路探究(1)根式化简求值偶次方根被开方数非负，奇次方根被开方
6、数为实数(2)从里往外先将根式化为分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的运算性质求解(1)C(2)A(1)由负分数指数幂的意义可知，(x2)，所以x20，即x2，因此x的取值范围是(2，)(2)a.根式与分数指数幂互化的规律及技巧(1)规律：根指数分数指数幂的分母被开方数(式)的指数分数指数幂的分子(2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简1(1)化为分数指数幂为_(2)将下列各式化为分数指数幂的形式：(x0)；(a0，b0)(1)a(aa)(a)a. 类型2利用分数指数幂的运算性质化简与求值【例2】(对接教材P7例3)计算下列各式：(
7、1)(4a2b)(2ab)(b)；(2)(1)0(1)2 02221思路探究化根式为分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质化简和求值1化简结果的一个要求和两个不能2幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂(2)化根式为分数指数幂(3)化小数为分数进行运算2(1)化简：ab(3ab1)(4ab3)_.(2)求值：1.580.25()6.(1)bab (3ab1)(4ab3)(3)4abb.(2)解1.580.25()61(23)222332427110. 类型3指数式的条件求值问题1把，分别展开是什么？提示a2，a22.2.和有什么关系？提示4.【例3】已知aa15，求下列各式的值：(1
8、)a2a2；(2)aa.解(1)因为aa15，所以a2a2(aa1)2252223.(2)因为aa12523，所以aa.本例条件不变，如何求a3a3的值？解因为aa15，所以a3a3(aa1)(a2aa1a2)(aa1)(aa1)23aa15(253)110.条件求值问题的常用方法(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果1的值是()A3B3C3D81A|3|3.222(0.01)()AB3C8D0A原式1，故
9、选A3有下列各式：若aR，则(a2a1)01；xy；.其中正确的个数是()A0B1C2D3Ba2a10，所以(a2a1)01成立无法化简0，0，故不相等4若8x10，则_.2x18因为8x10，则x8(10x)2x18.5化简(a0，b0)的结果是_9a9ab9a.回顾本节内容，自我完成以下问题：1有理指数幂与实数指数幂的运算法则是否相同？它们有怎样的运算法则提示相同s，t为有理数(或实数)时，asatast；(as)tast；(ab)sasbs.2学习本节课要重点掌握的规律方法是什么？提示(1)掌握根式化简求值的解题思路(2)根式与分数指数幂的互化方法(3)有条件的根式的化简与求值问题及方法3本节课的易错点在哪里？提示本节课的易错点是对根式概念理解不透致错以及指数幂运算性质掌握不熟练出现的计算错误