1、课时跟踪检测(十九)单调性的定义与证明A级基础巩固1下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()Ay|x|2By3xCy Dyx24解析：选A因为10B(x1x2)f(x1)f(x2)0Cf(a)f(x1)f(x2)解析：选AB由函数单调性的定义可知，若函数yf(x)在给定的区间上是增函数，则x1x2与f(x1)f(x2)同号，由此可知，选项A、B正确；对于选项C、D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确3函数f(x)|x2|在3，0上()A单调递减 B单调递增C先减后增 D先增后减解析：选C作出f(x)|x2|在(，)上的图像，如图
2、所示，易知f(x)在3，0上先减后增4设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1(a，b)，x2(c，d)，x1x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为()Af(x1)f(x2)Cf(x1)f(x2) D不能确定解析：选D由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定故选D.5定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2R(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(
3、3)f(1)f(2)解析：选A对任意x1，x2R(x1x2)，有0，则x2x1与f(x2)f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数又321，则f(3)f(2)f(1)6已知函数f(x)则f(x)的单调递减区间是_解析：当x1时f(x)是增函数，当x1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间为(，1)答案：(，1)7已知函数f(x)为定义在区间1，1上的增函数，则满足f(x)f的实数x的取值范围为_解析：由题设得解得1x.答案：8若函数f(x)8x22kx7在1，5上为单调函数，则实数k的取值范围是_解析：由题意知函数f(x)8x22kx7的图像的对称轴为x，因为函数f(x)8x22kx
4、7在1，5上为单调函数，所以1或5，解得k8或k40，所以实数k的取值范围是(，840，)答案：(，840，)9判断并证明函数f(x)1在(0，)上的单调性解：函数f(x)1在(0，)上是增函数证明如下：设x1，x2是(0，)上的任意两个实数，且x10，又由x1x2，得x1x20，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)1在(0，)上是增函数10作出函数f(x)的图像，并指出函数f(x)的单调区间解：f(x)的图像如图所示由图可知，函数f(x)的单调减区间为(，1和(1，2)，单调增区间为2，)B级综合运用11已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)，B(3，1)是其图
5、像上的两点，则1f(x)1的解集是()A(3，0) B(0，3)C(，13，) D(，01，)解析：选B由已知，得f(0)1，f(3)1，1f(x)1等价于f(0)f(x)f(3)f(x)在R上单调递增，0x3.12已知函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0，3) B(0，3C(0，2) D(0，2解析：选D依题意得实数a满足解得01的解集为_解析：由条件可得f(x)f(2)f(2x)，又f(3)1，不等式f(x)f(2)1，即为f(2x)f(3)f(x)是定义在R上的增函数，2x3，解得x1的解集为.答案：14已知f(x)在(0，)上是增函数，且f(x)0，f(3)1.试
6、判断g(x)f(x)在(0，3上是增函数还是减函数，并加以证明解：函数g(x)在(0，3上是减函数证明如下：任取x1，x2(0，3，且x1x2，则g(x1)g(x2)f(x1)f(x2).因为f(x)在(0，)上是增函数，所以f(x1)f(x2)0，f(3)1，所以0f(x1)f(x2)f(3)1，则0f(x1)f(x2)1，即10，g(x1)g(x2)故g(x)f(x)在(0，3上是减函数C级拓展探究15已知函数f(x)，g(x)在数集D上都有定义，对于任意的x1，x2D，当x1x2时，g(x1)g(x2)或g(x2)g(x1)成立，则称g(x)是数集D上f(x)的限制函数(1)试判断函数g
7、(x)是否是函数f(x)在D(0，)上的限制函数；(2)设g(x)是f(x)在区间D1(D1D)上的限制函数且g(x)在区间D1上的值恒正，求证：函数f(x)在区间D1上是增函数；(3)设f(x)x22，试写出函数f(x)在D(0，)上的限制函数，并利用(2)的结论，求f(x)在D(0，)上的单调区间解：(1)对任意0x1x2，因为，所以f(x)在D(0，)上的限制函数为g(x).(2)证明：对于任意的x1，x2D1D，当x10，g(x2)0，由于g(x1)g(x2)或g(x2)g(x1)成立，所以0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在D1上是增函数(3)设0x1x2，则x1x2，所以2x10，解得x，因而当x时，g(x)0，f(x)递增，即f(x)的单调递增区间是；当x时，g(x)0，f(x)递减，即f(x)的单调递减区间是.