1、高二数学第 1 页（共 4 页）河南省实验中学 20212022 学年上期期中试卷高二理科数学命题人：闫文芳审题人：丁海丽（时间：120 分钟，满分：150 分）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知 a，b，cR，那么下列命题中正确的是（）A若0ab，则2abbaB若0ab，0c，则 ccabC若 ab，则22()()acbcD若 ab，则22acbc2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为，.若2a，3b，=4，则角 B（）A 6B 3C 6 或 56D 3 或 233已知首项为最小正整数，公差不为零的
2、等差数列 na中，2a，8a，12a 依次成等比数列，则4a 的值是（）A1619B 2219C 26D584已知ABC 中，角、所对的边分别为、，若ABC 的面积为32，3cos1Cab，则C 的值为（）A 6B 3C2D 235在ABC 中，3B，2AB，BC 边上的中线 AD 的长度为 2 3，则ABC 的面积为（）A2 3B 4 3C12D8 36一弹球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第 10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)（）A300 米B299 米C199 米D166 米7在ABC 中，22tantanaAbB，则ABC 是（）A等腰
3、三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D等边三角形高二数学第 2 页（共 4 页）8几何原本中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在 AB 上取一点C，使得 ACa，BCb，过点C 作CDAB交圆周于 D，连接 OD.作 CEOD交 OD 于 E.则下列不等式可以表示 CDDE的是A20,0ababababB0,02abab abC220,022abab abD2220,0abab ab9设等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的 nN*，都有
4、nnST 2343nn，则2313abb14511abb的值为（）A 2945B 1329C 919D 193010已知0a，0b，且228abab，则+2的最小值为（）A 2B2 2C4D611已知数列 na的前 n 项和为nS，且22317nSnn，若1011nnnba，则数列 nb的最大值为（）A第 5 项B第 6 项C第 7 项D第 8 项12.数列 na满足11a ，23a，4+1 3 2=0().设31lognnba，记 x 表示不超过 x 的最大整数设1 22 31202020202020nnnSbbb bb b，若不等式nSt，对nN 恒成立，则实数t 的最大值为（）A 202
5、0B2019C1010D1009二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13在锐角三角形ABC 中，S=2，5AB，1AC ，则 BC _14设等比数列 na的前 n 项和为nS，若3692SSS，则数列的公比=_.高二数学第 4 页（共 4 页）15设 x，y 满足约束条件21,21,0,xyxyxy 若=+(2)有最小值，则 a 的取值范围为_.16已知等比数列 na的公比为 q，前 n 项积为nT，且满足条件：1 1，99100 1，9911001 DE 即可得到答案.【详解】连接 DB，因为 AB 是圆 O 的直径，所以90ADB，所以在 Rt ADB中，中线22A
6、BabOD，由射影定理可得2CDAC CBab，所以CDab.在 Rt DCO中，由射影定理可得2CDDE OD，即222CDababDEabODab，由CDDE得2ababab，故选 A.【点睛】本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题.9C【分析】根据等差数列的性质及等差数列前 n 项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案【详解】由题意可知 b3b13b5b11b1b152b8，2313abb14511abb21482aab88ab 1515ST 2 1534 153 2757 919故选：C10C【分析】由基本不等式得出关于2ab 的不等式，解之可得【详解】因为0,0ab
7、，所以2(2)82224abababab，当且仅当2ab时取等号2(2)4(2)320abab，解得24ab或28ab （舍去），所以24ab，即2ab 的最小值.4此时2,1ab 故选：C11D【分析】由1111nnnSnaSSn，先求出na，从而得出101137nnnb，由1nnbb 讨论出其单调性，从而得出答案.【详解】当1n 时，1110aS；由22317nSnn，当2n 时，21231171nSnn，两式相减，可得22231731171614nannnnn，解得37nan，当1n 时，也符合该式，故37nan所以1010111371nnnnbna由13101013711nnbnbn，
8、解得233n；又*nN，所以7n，所以1278bbbb ，当8n 时，11nnbb ，故8910bbb，因此最大项为8b，故选：D12C【详解】由题意得：，2113nnnnaaaa，又213 12aa，数列1nnaa 是以 2 为首项，3 为公比的等比数列，112 3nnnaa，又212 3nnnaa，3122 3nnnaa，13223aa，02123aa，1012111 323332311 3nnnnaa，13nna；313loglog 3nnnban，1111111nnb bn nnn，1 22312020202020201111120202020122311nnnb bb bb bnnn
9、 ，20202020202011nnSnn，1112n，202010101n，2020202010101n，min1010nS，nSt 对nN 恒成立，min1010ntS，则实数t 的最大值为1010.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、累加法求得数列的通项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得nS 的形式.13 2 5【分析】由三角形面积公式求 A，再由余弦定理求 BC.【详解】2ABCS，1sin22ABACA，又5AB，1AC ，4sin5A，又 A 为锐角，3cos5A，由余弦定理可得2222cosBCABACABAC
10、A，220BC，2 5BC，故答案为：2 5.143 42【分析】根据等比数列的前 n 项和公式，和3692SSS，对q 进行分类讨论，列出方程，即可求出结果.【详解】当1q 时，1nSna，36111993692SSaaaSS；当1q 时，3691111112111aqaqaqqqq，得369222qqq，96320qqq，解得312q 或31q(舍去)或30q(舍去)，3 42q .故答案为：3 42.15,2【分析】分类讨论，当2a，2a，2a 时，目标函数是否有最小值即可【详解】作出可行域，如图所示阴影部分（含边界），当2a 时，目标函数是平行于 y 轴的直线，存在最小值，满足题意，当
11、2a 时，目标函数2zxay的斜率为负，此时目标函数有最大值，无最小值，当2a 时，目标函数2zxay的斜率为正，此时目标函数有最小值，满足题意，综上可得，2a 故答案为：,216【分析】由9999100100101101aaaa，根据1991001,1aa a 判断；利用等比数列的性质判断；利用前 n 项积的定义判断；利用前 n 项积的定义结合等比数列的性质判断.【详解】9999100100101101aaaa，因为1991001,1aa a，则10099100991,01,0,1aaaqa，故正确；2991011001001a aaa，故正确；1009910099TTaT，故错误；因为 9
12、91981231981198219799100991001Taaaaaaaaaaaa，10019912319911992198991011001001Taaaaaaaaaaaa，故正确；故答案为：172,3【分析】由题意可知，关于 x 的二次方程210axbx 的两根分别为12、13，利用韦达定理可求得 a、b 的值，再利用二次不等式的解法解不等式20 xbxa，即可得解.【详解】因为不等式210axbx 的解集是11,23，则0a，且关于 x 的二次方程210axbx 的两根分别为12、13，所以112311123baa ，解得65ab，不等式20 xbxa即为2560 xx，解得 23x.
13、故不等式20 xbxa的解集为2,3.18（1）4c；（2）2 13【分析】（1）利用等差数列以及三角形内角和，正弦定理以及余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，结合三角函数的最值求解即可【详解】（1）由角 A、B、C 的度数成等差数列，得 2BAC又 ABC ，3B由正弦定理，得34ca，即34ca由余弦定理，得2222cosbacacB，即22331132442cccc，解得4c（2）由正弦定理，得132 13sinsinsin332acbACB，2 13 sin3aA，2 13 sin3cC2 132 13sinsinsinsin33acACAAB2 132 13
14、33sinsinsincos2 13 sin322633AAAAA由203A，得5666A所以当=62A 时，即=3A 时，max2 13ac19（）（）【解析】试题分析：（）由nS 求通项公式na 主要利用1112nnnSnaSSn 求解；（）整理数列的通项公式，结合其特点采用裂项相消法求和3,(1)2,(2)nnan n 51244(1)nTn11nnaa试题解析：（1）当时，；当时，得：但不符合上式，因此：（2）当时，当时，且符合上式，因此：考点：数列求通项公式及数列求和20（1）8sin(75)AM，0105；（2）当45时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小.【分析】（1）由正弦定理求
15、得 AM，由三角形内角和求得 范围；（2）由余弦定理求得 AP，并由三角函数恒等变换公式，结合正弦函数性质得最大值【详解】解：（1）因为AMN，1n 111 1 13aS 2n 21nSnn21(1)(1)1nSnn 221(1)(1)nnSSnnnn(21)12nann 13a 3,(1)2,(2)nnan n 1n 1121113 412Ta a2n 11111 11()22(1)4(1)41nna annn nnn1223341111111111111()()()1242334111 11()124 2151244(1)nnnTa aa aa aa annnn1112T 51244(1)
16、nTn所以sinsin()sin(75)ANMAAMN .在 AMN 中，由正弦定理得：sin 75sin 75MNAM因为2(62)MN，所以8sin(75)AM，0105（2）在APM中，2222cosAPAMMPAM MPAMP264sin(75)4864 3 sin(75)cos(75)32 1cos(2150)32 3 sin(2150)4880323 sin(2150)cos(2150)8064sin(2180)8064sin 2(0105)当且仅当290，即45时，2AP 取得最大值 144，即 AP 取得最大值 12.答：当45时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小.21（1）4
17、00m，2240024001000,04()401025,4xxxF xxxxx；（2）年产量为 5 万台时，年利润()F x 最大，最大年利润是 4000 万元【分析】（1）根据生产 1 万台该款电动摩托车需投入资金 3000 万元，求出m 的值，然后年利润 销售额投入资金改造费，从而可求出所求；（2）分段函数求最值分段求，利用二次函数的性质和基本不等式分别求出最值，比较即可求出所求【详解】（1）由题意2(1)126003000Pm，所以400m，当04x时，22()50004002600100040024001000F xxxxxx；当4x 时，225001501025401025()50
18、001000 xxxxF xxxx，所以2240024001000,04()401025,4xxxF xxxxx；（2）当04x时，2()400(3)2600F xx，所以当3x 时，max()2600F x当4x 时，24010252525()40104010 xxF xxxxxx ，因为4x，所以252 2510 xx，当且仅当253x 时，即5x 时等号成立，所以()1040104000 F x，所以当5x 时，max()4000F x，因为26004000，所以，当 2021 年该款摩托车的年产量为 5 万台时，年利润()F x 最大，最大年利润是 4000万元22（1）12nnna；
19、（2）(2,26).【分析】（1）当1n 时，可求1a 的值，当2n 时，211132nnnaS 与1132nnnaS 两式相减即可得11122nnnaa 两边同时乘以12n，得11221nnnnaa，令2nnnba，可得 nb是等差数列，求出 nb的通项即可求 na的通项；（2）由（1）知，312nnnc利用乘公比错位相减求和求出nT，当1n ，2 时单独讨论，当3n 时，22nnnT化为22nnTn，即5 2352nnn.令5235()2nnf nn（3n，*Nn），则 minf n，计算(1)()f nf n判断 f n 的单调性求出 f n 的最小值，即可求得实数的取值范围【详解】（1
20、）由已知，113(*)2nnnaSnN，当1n 时，122a，解得11a .当2n 时，211132nnnaS 两式相减，得11122nnnaa 两边同时乘以12n，得11221nnnnaa，令2nnnba，则11(2)nnbbn，所以数列 nb是公差为 1 的等差数列，其首项为1122ba所以2(1)1nbnn，即12nnna，所以12nnna.（2）由（1）知，12nnna，所以312nnnc则231111258(31)2222nnTn，234111111258(31)22222nnTn，-，得231111111333(31)22222nnnTn ，即11111421113(31)1221
21、2nnnTn ，153512222nnnT，则15(35)2nnTn.由已知，对任意的正整数 n，恒有22nnnT当1n 时，22nnnT化为112，得2 .当2n 时，22nnnT化为904，此时，为任意实数不等式都成立当3n 时，22nnnT化为22nnTn，即5 2352nnn.令5235()2nnf nn（3n，*Nn），则15 23(1)510238(1)11nnnnf nnn，所以102385 235(1)()12nnnnf nf nnn10238(2)5235(1)(1)(2)nnnnnnnn(515)211(1)(2)nnnn当3n 时，(515)2110(1)(2)nnnn，
22、则(1)()f nf n，所以5235()2nnf nn（3n，*Nn）单调递增，所以()f n 的最小值为 326f，则26.综上可知，226，即 的取值范围是2,26【点睛】关键点点睛：第一问的关键点是需要讨论，当1n 时求得11a ，当2n 时，211132nnnaS 与已知条件两式相减得11122nnnaa，这种类型需要两边同时乘以12n 得11221nnnnaa，第二问是根据不等式恒成立求参数的值，求出15(35)2nnTn 可得22nnnT，此时22nn 不是恒大于 0，当1n ，2 时单独讨论，当3n 时，22nnnT分离 化为22nnTn，即5 2352nnn，再构造5235()2nnf nn（3n，*Nn），利用作差法判断单调性求最小值即可.