1、第7讲立体几何中的向量方法（二）求空间角基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014广东卷)已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1，1，0) B(1，1，0)C(0，1，1) D(1，0，1)解析 经检验，选项B中向量(1，1，0)与向量a(1，0，1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60，故选B.答案B2(2014新课标全国卷)在直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC2，则B(0，2，0)，A
2、(2，0，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以(1，1，2)，(1，0，2)，故BM与AN所成角的余弦值cos .答案C3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且1，N为B1B的中点，则|为()A.a B.a C.a D.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且1，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，| a.答案A4在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B. C. D.解析以A
3、为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，(0，1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，所以有即解得n1(1，2，2)平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)， cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.答案B5在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PAPBPCa，则点P到平面ABC的距离为()A. B.a C. D.a解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz，则P(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a)过点P作PH平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为
4、点P到平面ABC的距离PAPBPC，H为ABC的外心又ABC为正三角形，H为ABC的重心，可得H点的坐标为.PHa.点P到平面ABC的距离为a.答案B二、填空题6已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角的大小为_解析 cosm，n，m，n.两平面所成二面角的大小为或.答案或7在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)，则(0，1，0)，(1，1，0)，(0，1，2)设平
5、面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2，1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|.答案8.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则(0，1，1)，(2，0，2)，2，cos，EF和BC1所成的角为60.答案60三、解答题9(2014浙江卷)如图，在四棱锥ABCDE
6、中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角BADE的大小(1)证明在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC，由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC，又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE，所以ACDE.又DEDC，DCACC，从而DE平面ACD.(2)解以D为原点，分别以射线DE，DC为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示由题意知各点坐标如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，2，)，B(1，1，0)设平面ADE的法向量为m(x1，y1，z
7、1)，平面ABD的法向量为n(x2，y2，z2)，可算得(0，2，)，(1，2，)，(1，1，0)，由即可取m(0，1，)由即可取n(1，1，)于是|cosm，n|，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角BADE的大小是.10(2013湖南卷)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t，0，
8、0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)从而(t，3，3)，(t，1，0)，(t，3，0)因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1，0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0，3，3)，(，1，0)，(0，1，0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则 sin |cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.能力提升题组(建议用时：25分钟)11正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦
9、值为()A. B.C. D.解析取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC1，则A，B，D.，.由于为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n(1，1)， cosn， sinn，.答案C12在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是()A30 B45C60 D90解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa.则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(a，0，0)，P.则(2a，0，0)，(a，a，0)，设平面PAC的一个法向量为n，设n(x，y，z)，则解得可取
10、n(0，1，1)，则 cos，n，n60，直线BC与平面PAC所成的角为906030.答案A13(2015南京一模)P是二面角AB棱上的一点，分别在平面，上引射线PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小为_解析不妨设PM a，PNb，如图，作MEAB于E，NFAB于F，EPMFPN45，PEa，PFb，()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0.，二面角AB的大小为90.答案9014(2014天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平
11、面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值(1)证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)向量(0，1，1)，(2，0，0)，故0.所以BEDC.(2)解向量(1，2，0)，(1，0，2)，设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y1，可得n(2，1，1)为平面PBD的一个法向量，于是有cosn，.所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)解向量(1，2，0)，(2，2，2)，(2，2，0)，(1，0，0)由点F在棱PC上，设 ，01.故 (12，22，2)由 BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即.设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3，1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0，1，0)，则 cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.