1、第二课时函数的表示方法新课程标准解读核心素养在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图像的作用数学抽象、直观想象(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318 km，设计速度目标值为380 km/h.若京沪高速铁路时速按300 km/h计算，火车行驶x h后，路程为y km，则y是x的函数，可以用y300x来表示，其中y300x叫做该函数的解析式(2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01问题根据初中所学知识，说出
2、上述分别是用什么法表示函数的？知识点函数的表示方法1函数的图像(1)定义：将函数yf(x)，xA中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F(x，y)|yf(x)，xA；(2)F是函数yf(x)的图像，必须满足下列条件：图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系yf(x)；满足函数关系yf(x)的点(x，y)都在函数图像F上2函数的表示法所有的函数都能用解析法、列表法和图像法表示吗？为什么？提示：并不是所有的函数都能用解析式表示；事实上，图像法也不适用于所有函数，如D(x)列表法虽在理论上适用于所有函数，但
3、对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段1已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3)_x1234f(x)3241解析：由题设给出的表知f(3)4，则f(f(3)f(4)1.答案：12若反比例函数f(x)满足f(3)6，则f(x)的解析式为_答案：f(x)3函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义域是_，值域是_答案：1，0)(0，21，1)4.已知函数f(x)的图像如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0)_解析：结合题图可得f(0)3，则f(f(0)f(3)0.答案：05已知函数f(2x1)6x5，则f(x)的解析式是_解析：法一：令
4、2x1t，则x.所以f(t)653t2，所以f(x)3x2.法二：因为f(2x1)3(2x1)2，所以f(x)3x2.答案：f(x)3x2函数的表示法例1某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来解(1)列表法：x/台12345y/元3 0006 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000(2)图像法：(3)解析法：y3 000x，x1，2，3，10函数的三种表示法的选择和应用的注意点解析法、图像法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自
5、变量与函数值的对应关系采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图像法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少在用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图像法必须清楚函数图像是“点”还是“线” 跟踪训练1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()解析：选D由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.2已
6、知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1)的值为_；当g(f(x)2时，x_解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)3，f(g(1)f(3)1.由于g(2)2，f(x)2，x1.答案：11函数图像的作法及应用例2作出下列函数的图像并求出其值域：(1)y2x1，x0，2；(2)y，x2，)；(3)yx22x，x2，2解(1)当x0，2时，图像是直线y2x1的一部分图(如图)，观察图像可知，其值域为1，5(2)当x2，)时，图像是反比例函数y的一部分(如图)，观察图像可知其值域为(0，1(3)当2x2时，图像是抛物线yx22x的一部分(
7、如图)由图可得函数的值域是1，8描点法作函数图像的步骤(1)列表：先找出一些有代表性的自变量x的值，再计算出与这些自变量x相对应的函数值f(x)，并用表格的形式表示出来；(2)描点：把第(1)步表格中的点(x，f(x)一一在平面直角坐标系中描出来；(3)连线：用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大(或由大到小)的顺序连接起来注意(1)画函数的图像时要注意函数的定义域；(2)要作出更精确的图像，常常需要描出更多的点 跟踪训练1.已知函数f(x)的图像如图所示，则此函数的定义域是_，值域是_解析：结合图像，知函数f(x)的定义域为3，3，值域为2，2答案：3，32，22作出下列函数的图像，并根据图像
8、求其值域：(1)x4224y1323(2)y，x3，0)(0，1；(3)yx24x1，x3，0解：(1)该函数的图像如图所示，由图可知值域为3，1，2，3(2)作出函数y，x3，0)(0，1的图像，如图所示，由图像可知值域为(，4.(3)作出函数yx24x1，x3，0的图像，如图所示，由图像可知值域为3，1函数解析式的求法角度一已知函数的类型，求函数的解析式例3(1)已知一次函数f(x)满足f(f(x)4x6，则f(x)的解析式为_；(2)已知二次函数f(x)满足f(0)1，f(1)2，f(2)5，则该二次函数的解析式为_解析(1)设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb
9、)ba2xabb4x6，于是有解得或所以f(x)2x2或f(x)2x6.(2)设二次函数的解析式为f(x)ax2bxc(a0)，由题意得解得故f(x)x21.答案(1)f(x)2x2或f(x)2x6(2)f(x)x21待定系数法求函数解析式已知函数的类型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数待定系数法求函数解析式的步骤如下：(1)设出所求函数含有待定系数的解析式如一次函数的解析式设为f(x)axb(a0)，反比例函数的解析式设为f(x)(k0)，二次函数的解析式设为f(x)ax2bxc(a0)；(2)把已知条件代入解析式，列出关于待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组，得到
10、待定系数的值；(4)将所求待定系数的值代回所设解析式 角度二已知f(g(x)的解析式，求f(x)的解析式例4(1)已知函数f(x1)x22x，则f(x)的解析式为()Af(x)x21Bf(x)x22x1Cf(x)x21 Df(x)x22x1(2)已知f(1)x2，则f(x)的解析式为_解析(1)法一(换元法)：令x1t，则xt1，tR，所以f(t)(t1)22(t1)t21，即f(x)x21.法二(配凑法)：因为x22x(x22x1)1(x1)21，所以f(x1)(x1)21，即f(x)x21.(2)法一(换元法)：令t1，则x(t1)2，t1，所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1)，
11、所以函数的解析式为f(x)x21(x1)法二(配凑法)：f(1)x2x211(1)21.因为11，所以函数的解析式为f(x)x21(x1)答案：(1)C(2)f(x)x21(x1)换元法、配凑法求函数解析式已知f(g(x)h(x)，求f(x)的两种方法(1)换元法：即令tg(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域；(2)配凑法：即从f(g(x)的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可 角度三已知中含有f(x)，f或f(x)
12、，f(x)形式的函数，求f(x)的解析式例5(1)已知函数f(x)满足f(x)2fx，则函数f(x)的解析式为_；(2)已知af(x)f(x)bx，其中a1，则函数f(x)的解析式为_解析(1)在已知等式中，将x换成，得f2f(x)，与已知方程联立，得消去f，得f(x).(2)在原式中以x替换x，得af(x)f(x)bx，于是得消去f(x)，得f(x).故f(x)的解析式为f(x)x，a1.答案(1)f(x)(2)f(x)x，a1消元法(或解方程组法)求函数解析式在已知式子中，含有关于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两个变量的式子，由
13、两个式子建立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法称为消元法(或解方程组法)即已知f(x)与f(x)满足的关系式，要求f(x)时，可用(x)代替两边的所有的x，得到关于f(x)及f(x)的方程组，解之即可求出f(x) 跟踪训练若3f(x1)2f(1x)2x，则f(x)的解析式为_解析：令tx1，则xt1，tR，原式变为3f(t)2f(t)2(t1)以t代替t，式变为3f(t)2f(t)2(1t)，由消去f(t)得f(t)2t，故f(x)2x.答案：f(x)2x函数图像的三种变换1函数图像的平移变换左加右减：函数yf(x)的图像沿x轴方向向左(a0)或向右(a0)或向下
14、(b0)，分别作出yf(x)，yf(x)，yf(x)的图像如图所示3函数图像的翻折变换(1)yf(x)y|f(x)|；(2)yf(x)yf(|x|)例如：已知函数yf(x)x22x3，分别作出函数y|f(x)|与yf(|x|)的图像如图所示y|f(x)|的图像为保留yf(x)图像在x轴上方的部分，把x轴下方的部分沿x轴翻折上去yf(|x|)的图像为保留yf(x)图像在y轴右侧的部分，把y轴右侧的图像翻折到y轴左侧迁移应用画出下列函数的大致图像：(1)y；(2)y|x21|.解：(1)因为y2，所以可先作出函数y的大致图像，把图像向左平移1个单位长度得到y的图像，再把所得图像向上平移2个单位长度
15、就得到了函数y的图像，如图所示(2)先作出yx21的大致图像，保留它在x轴及其上方的部分，再把它在x轴下方的部分沿x轴对称翻折到x轴上方，所得的图像就是函数y|x21|的图像，如图所示1若f(x)是一次函数，2f(2)3f(1)5，2f(0)f(1)1，则f(x)()A3x2B3x2C2x3 D2x3解析：选B设f(x)axb，由题设有解得所以选B.2设f(x)2x3，g(x)f(x2)，则g(x)()A2x1 B2x1C2x3 D2x7解析：选Bf(x)2x3，f(x2)2(x2)32x1，即g(x)2x1，故选B.3已知集合A1，0，1，B0，1，2，试写出从A到B的一个函数h(x)_解析：令h(x)x1，则有h(1)0，h(0)1，h(1)2，满足题意答案：x1(答案不唯一)4如图所示，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f(3)_，f(f(4)_(用数字作答)解析：由题图可知f(3)1，f(4)2，则f(f(4)f(2)0.答案：105已知函数f(x)x22x(1x2)(1)画出f(x)图像的简图；(2)根据图像写出f(x)的值域解：(1)f(x)图像的简图如图所示(2)观察f(x)的图像可知，f(x)图像上所有点的纵坐标的取值范围是1，3，即f(x)的值域是1，3