1、第4讲平面向量应用举例基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1在四边形ABCD中，(1,2)，(4,2)，则该四边形的面积为_解析0，四边形ABCD的面积S|25.答案52在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是_三角形(填“等边”、“等腰”、“直角”、“等腰直角”)解析由()|2，得()0，即()0,20，A90.又根据已知条件不能得到|，故ABC一定是直角三角形答案直角3已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是_解析(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6.答案抛物线4(2015广州综合测试)在ABC中，若2，则边AB的长等于
2、_解析由题意知4，即()4，即4，|2.答案25(2015南通检测)设O是ABC的外心(三角形外接圆的圆心)若，则BAC的度数等于_解析取BC的中点D，连接AD，则2 .由题意得32，AD为BC的中线且O为重心又O为外心，ABC为正三角形，BAC60.答案606(2015宿迁摸底)已知非零向量a，b满足(a2b)a，(b2a)b，则向量a与b的夹角为_解析由非零向量a，b满足(a2b)a，(b2a)b，得(a2b)a|a|22ab0，(b2a)b|b|22ab0，所以|a|22ab|b|2，设向量a与b的夹角为，0，则cos ，所以.答案7(2014天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形
3、ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则的最大值为_解析以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(1,1)，M，设E(x,0)，x0,1，则(1x,1)(1x)2，x0,1单调递减，当x0时，取得最大值.答案8(2015苏北四市模拟)已知向量a(cos ，sin )，向量b(，1)，则|2ab|的最大值与最小值的和为_解析由题意可得abcos sin 2cos，则|2ab|0,4，所以|2ab|的最大值与最小值的和为4.答案4二、解答题9(2015长沙模拟)已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求tan 2x的值；(2)求函数f(x)(a
4、b)b在上的值域解(1)ab，sin x(1)cos x0，即sin xcos x0，tan x，tan 2x.(2)f(x)(ab)babb2sin xcos xcos2x1sin 2xcos 2x1sin.x0，2x0，2x，sin，f(x)的值域为.10(2014陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上，且mn(m，nR)(1)若mn，求|；(2)用x，y表示mn，并求mn的最大值解(1)mn，(1,2)，(2,1)，(1,2)(2,1)(2,2)，|2.(2)m(1,2)n(2,1)(m2n,2mn)
5、，两式相减，得mnyx.令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2,3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.能力提升题组(建议用时：25分钟)1在ABC中，A90，AB1，AC2，设点P，Q满足，(1)，R.若2，则_.解析(1)，2(1)2，化简得(1)(1)222，又因为0，24，21，所以解得.答案2(2014衡水中学一调)已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上有极值，则向量a与b的夹角的范围是_解析设a与b的夹角为.f(x)x3|a|x2abx.f(x)x2|a|xab.函数f(x)在R上有极值，方程x2|a|xab0有两个不同的实数根，即|a|24a
6、b0，ab，又|a|2|b|0，cos ，即cos ，又0，.答案3(2015南京模拟)在RtABC中，CACB2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN，则的取值范围为_解析以点C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(2,0)，B(0,2)，斜边AB所在直线的方程为xy2，x0,2因为MN，则可设M(x,2x)，N(x1,1x)，且x0,2，x10,2，所以x0,1，此时x(x1)(2x)(1x)2x22x2，x0,1，由二次函数图象可得x时，取得最小值；当x0或1时，取得最大值2，所以的取值范围是.答案4(2015扬州调研)在ABC中，角A，B，C所对的边分
7、别为a，b，c，m(sin A，sin Bsin C)，n(ab，bc)，且mn.(1)求角C的值；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ab的取值范围解(1)由m(sin A，sin Bsin C)，n(ab，bc)得sin A(ab)(sin Bsin C)(bc)0，即a(ab)(bc)(bc)0，故a2b2c2ab，所以2abcos Cab，cos C.由C(0，)，C.(2)由(1)得AB，即BA，又ABC为锐角三角形，故从而A.由c1，所以，故a2sin A，b2sin B，所以ab2sin A2sin B2sin A2sin2sin A2sincos A2cossin Asin Acos A2sin.由A，所以A，所以sin，即ab(1，).