1、第5讲椭圆基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，OM3，则P点到椭圆左焦点的距离为_解析由题意知，在PF1F2中，OMPF23，PF26，PF12aPF21064.答案42已知椭圆1的焦距为4，则m等于_解析由得2mb0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，的值等于_解析在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CACB2a，而AB2c，所以3.答案37(2013辽宁卷改编)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接A
2、F，BF.若AB10，BF8，cosABF，则C的离心率为_解析如图，设AFx，则cosABF.解得x6，AFB90，由椭圆及直线关于原点对称可知AF18，FAF1FABFBA90，FAF1是直角三角形，所以F1F10，故2a8614,2c10，.答案8(2015乌鲁木齐调研)已知F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且c2，则此椭圆离心率的取值范围是_解析设P(x，y)，则(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将y2b2x2代入式解得x2，又x20，a2，2c2a23c2，e.答案二、解答题9(2014新课标全国卷)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab
3、0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a，b.解(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得或2(舍去)故C的离心率为.(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由MN5F1N，得DF12F1N.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得1. 将及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b 2 .10. (2014江苏卷)如图，
4、在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值解设椭圆的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0)(1)因为B(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a.因为点C在椭圆上，所以1，解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.因为直线F1
5、C的斜率为，直线AB的斜率为，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2，因此e.能力提升题组(建议用时：25分钟)1(2014南京、盐城调研)设F1，F2分别是椭圆E：1的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且AF2，AB，BF2成等差数列，则AB_.解析依题意得AF1AF2BF1BF2(AF1BF1)(AF2BF2)AB(AF2BF2)3AB42，AB.答案2(2015云南统一检测)设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PMPF1的最大值为_解析PF1PF210，PF110PF2，PMPF110PMPF2，易知M点
6、在椭圆外，连接MF2并延长交椭圆于P点，此时PMPF2取最大值MF2，故PMPF1的最大值为10MF21015.答案153(2015陕西五校联考)椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B.若FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是_解析设椭圆的右焦点为F，如图，由椭圆定义知，AFAFBFBF2a. 又FAB的周长为AFBFABAFBFAFBF4a，当且仅当AB过右焦点F时等号成立此时4a12，则a3.故椭圆方程为1，所以c2，所以e.答案4(2015南京模拟)已知椭圆C：1(ab0)过点P(1，1)，c为椭圆的半焦距，且cb.过点P作两条互相垂直的直线l1，l2
7、与椭圆C分别交于另两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l1的斜率为1，求PMN的面积；(3)若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程解(1)由条件得1，且c22b2，所以a23b2，解得b2，a24.所以椭圆C的方程为1.(2)设l1的方程为y1k(x1)，联立消去y得(13k2)x26k(k1)x3(k1)240.因为P为(1，1)，解得M.当k0时，用代替k，得N将k1代入，得M(2,0)，N(1,1)因为P(1，1)，所以PM，PN2，所以PMN的面积为22.(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则两式相减得(x1x2)(x1x2)3(y1y2)(y1y2)0，因为线段MN的中点在x轴上，所以y1y20，从而可得(x1x2)(x1x2)0.若x1x20，则N(x1，y1)因为PMPN，所以0，得xy2.又因为x3y4，所以解得x11，所以M(1,1)，N(1，1)或M(1，1)，N(1,1)所以直线MN的方程为yx.若x1x20，则N(x1，y1)，因为PMPN，所以0，得y(x11)21.又因为x3y4，所以解得x1或1，经检验：x1满足条件，x11不满足条件综上，直线MN的方程为xy0或x.