1、一、选择题1用反证法证明命题：若整数系数一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是A假设a，b，c都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个是偶数D假设a，b，c至多有两个是偶数解析至少有一个的否定是一个也没有，即a，b，c都不是偶数答案B2已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比有xn1(nN)，则a等于AnB2nCn2 Dnn解析第一个式子是n1的情况，此时a1，第二个式子是n2的情况，此时a4，第三个式子是n3的情况，此时a33，归纳可以知道ann.答案D3在不等边三角形中，a为最大边，要想得到ABC为
2、钝角三角形的结论，三边a、b、c应满足的条件是Aa2b2c2 Ba2b2c2Ca2b2c2 Da2b2c2解析a为最大边，则角A为最大角，若ABC为钝角三角形，则角A必须为钝角，故cos A0，所以b2c2a20a2b2c2，选C.答案C4下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n个图案中白色的正方形个数为A5n3 B5nC3n5 D3n解析由题意可知，每个图案都是3行，第一个图案有3列，第二个图案有5列，第三个图案有7列，所以第n个图案有2n1列，所以第n个图案中正方形的个数为3(2n1)6n3，又知第n个图案中有n个黑色小正方形，所以第n个图案中白色正方形的个数为
3、6n3n5n3.答案A5现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为A. B.C. D.解析由平面类比到空间，将面积和体积进行类比，容易得出两个正方体重叠部分的体积恒为，所以选B.答案B6(2011福建)对于函数f(x)asin xbxc(其中a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(1)，所得出的正确结果一定不可能是A4和6 B3和1C2和4 D1和2解析f(1)asin 1bc，f
4、(1)asin 1bc，且c是整数，f(1)f(1)2c是偶数在选项中只有D中两数和为奇数，不可能是D.答案D二、填空题7(2011山东)设函数f(x)(x0)，观察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.解析依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为an2n1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，故其通项公式为bn2n.所以当n2时，fn(x)f(fn1(x).答案8下面的数组均由三个数
5、组成：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，(an，bn，cn)(1)请写出cn的一个表达式，cn_.(2)若数列cn的前n项和为Mn，则M10_.(用数字作答)解析(1)通过观察归纳，得ann，bn2n，cnanbnn2n.(2)M10(1210)(222210)2 101.答案n2n；2 1019经过圆x2y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1类似的性质为：经过椭圆1上一点P(x0，y0)的切线方程为_解析过圆上一点(x0，y0)的切线方程是把圆的方程中的x2，y2中的一个x和一个y分别用
6、x0，y0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点(x0，y0)的切线方程也是把椭圆方程中的x2，y2中的一个x和一个y分别用x0，y0代替，即得到切线方程为1.答案1三、解答题10已知命题：“若数列an是等比数列，且an0，令bn，则数列bn(nN)也是等比数列”类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论解析由题意，得等差数列的一个性质是：若数列an是等差数列，令bn，则数列bn(nN)也是等差数列设等差数列an的公差为d，则bna1(n1)，所以数列bn是以a1为首项，为公差的等差数列故所得命题成立11已知数列an和bn满足：a1，an
7、1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数(1)对任意实数，证明数列an不是等比数列；(2)试判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论解析(1)证明假设存在一个实数，使an是等比数列，则有aa1a3，即22492490，矛盾，所以an不是等比数列(2)因为bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n(an3n21)bn，又b1(18)，所以当18时，bn0(nN)，此时bn不是等比数列；当18时，b1(18)0，由bn1bn可知bn0，所以(nN)故当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列12已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN)(1)求S1，S2，S3，S4的值；(2)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明解析(1)由题意知，S1a11，S24a2，即a1a24a2，得a2，又a11，S2.同理得，S39a3，即S2a39a3，得a3，S3，S416a4，即S3a416a4，得a4，S4.(2)猜想：Sn，证明当n1时，S11，与已知相符，故结论成立，假设当nk(k1，kN)时，结论成立，即Sk，由已知可得Sk1(k1)2ak1，整理得(k1)21Sk1(k1)2Sk，即Sk1Sk，Sk1，即当nk1时，结论也成立，综合知，对nN，都有Sn.