1、一、选择题1某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为AyByCy Dy解析由题意，可用特殊值法求解，当x17时，A选项错误，当x16时，2，2，所以C、D选项错误，故选B.答案B2(2011山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(R)，(R)，且2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下面说法正确的是AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在
2、线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上解析依题意，若C，D调和分割点A，B，则有，且2.若C是线段AB的中点，则有，此时.又2，所以0，不可能成立因此A不对，同理B不对当C，D同时在线段AB上时，由，知01,01，此时2，与已知条件2矛盾，因此C不对若C，D同时在线段AB的延长线上，则时，1，时，1，此时2，与已知2矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上答案D3定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面说法错误的是A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析若a(m
3、，n)与b(p，q)共线，则mqnp0，依运算“”知ab0，故A正确由于abmqnp，又banpmq，因此abba，故B不正确对于C，由于a(m，n)，因此(a)bmqnp，又(ab)(mqnp)mqnp，故C正确对于D，(ab)2(ab)2m2q22mnpqn2p2(mpnq)2m2(p2q2)n2(p2q2)(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，故D正确答案B4对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)kxb(k，b为常数)，对任给的正数m，存在相应的x0D，使得当xD且xx0时，总有则称直线l：ykxb为曲线yf(x)与yg(x)的“分渐近线”给出定义域均为Dx
4、|x1的四组函数如下：f(x)x2，g(x)；f(x)10x2，g(x)；f(x)，g(x)；f(x)，g(x)2(x1ex)其中，曲线yf(x)与yg(x)存在“分渐近线”的是A BC D解析(*)当x(x0，)时，对于，f(x)、g(x)均无最大值，故不满足(*)式，同理也不正确0对于，令h(x)2，则f(x)h(x)10x2210x，h(x)g(x)2.x1，满足题意对于，f(x)2x2，令h(x)2x2，0f(x)h(x)1.而0h(x)g(x)2x22(x1)2ex1，也满足题意故正确答案C5(2011江西)如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁逆时针方向滚动，M和N是小圆的
5、一条固定直径的两个端点那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是解析小圆沿大圆内壁滚动时，在大圆上经过的弧长与小圆上滚动过的弧长应相等，当它们处于如图虚圆位置时，设大圆的圆心为O，MOC，则的长度1.而CO1P2，则的长度2，则点P即M运动后的点，说明为锐角时，点M在MO上运动；由OO1B2可知的长度2，则点B即N运动后的点，说明为锐角时，点N在OA上运动以后运动可同理分析答案A6若关于x的方程kx2只有一个实根，则实数k的取值范围为Ak0 Bk0或k1Ck1或k1 Dk0或k1或k1解析方程kx2的根可转化为y1，y2kx2的图象的交点，直线y2kx2过定点P(0
6、,2)，半圆y1与x轴交点A(2,0)，B(2,0)kPA1，kPB1，当k0或k1或k1时，直线y2与半圆只有一个交点答案D二、填空题7设a0，b0，称为a，b的调和平均数如图，C为线段AB上的点，且ACa，CBb，O为AB中点，以AB为直径作半圆过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段_的长度是a，b的几何平均数，线段_的长度是a，b的调和平均数解析在RtABD中，CD是斜边AB上的高，所以CD2ACCB，所以CD，所以线段CD的长度是a，b的几何平均数在RtOCD中，因为CEOD，所以，所以线段DE的
7、长度.所以线段DE的长度是a，b的调和平均数答案CD；DE8(2011安徽)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点下列命题中正确的是_(写出所有正确命题的编号)存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点；直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；直线ykxb经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；存在恰经过一个整点的直线解析正确设yx，当x是整数时，y是无理数，(x，y)必不是整点不正确设k，b，则y(x1)，过整点(1,0)正确直线l经过无穷多个整点，则直线l必然经过两个不同的整点，显然
8、成立；反之亦成立，设直线l经过两个整点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则l的方程为(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，令xx1k(x2x1)(kZ)，则xZ，且yk(y2y1)y1也是整数，故直线l经过无穷多个整点不正确由知直线l经过无穷多个整点的充要条件是直线l经过两个不同的整点，设为P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则直线l的方程为(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，又直线方程为ykxb的形式，x2x1，yx，k，bQ；反之不成立，故k，bQ，设yx，则x3y，若yZ，则Z，即xZ，即由k，bQ得不到ykxb经过无穷多个整点正确直线y(x1)只经过整点(1
9、,0)答案9若数列an满足：对任意的nN，只有有限个正整数m使得amn成立，记这样的m的个数为(an)*，则得到一个新数列(an)*例如，若数列an是1,2,3，n，则数列(an)*是0,1,2，n1，.已知对任意的nN，ann2，则(a5)*_，(an)*)*_.解析由(an)*的定义知，要求(a5)*只需寻找满足am5的m的个数即可由于1215,2245,3295，故(a5)*2.an1,22,32，n2，(an)*，(a1)*)*1，(a2)*)*422，(a3)*)*932，(an)*)*n2.答案2；n2三、解答题10(2011湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况
10、在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)解析(1)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意
11、并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)2，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以当x100时，f(x)在区间(20,200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0,200上取得最大值3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时11(2011重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e，一条准线的方程为x2.(1)求该椭圆的标准方程(2)设动点P满足：2，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为 ，问：是否存在两个定点F1，F2
12、，使得|PF1|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由解析(1)由e，2，解得a2，c，b2a2c22，故椭圆的标准方程为1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由2得(x，y)(x1，y1)2(x2，y2)(x12x2，y12y2)，即xx12x2，yy12y2.因为点M，N在椭圆x22y24上，所以x2y4，x2y4，故x22y2(x4x4x1x2)2(y4y4y1y2)(x2y)4(x2y)4(x1x22y1y2)204(x1x22y1y2)设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOMkON，因此x1x22y1y20，所以
13、x22y220.所以P点是椭圆1上的点设该椭圆的左、右焦点为F1、F2，则由椭圆的定义|PF1|PF2|为定值，又因为c，因此两焦点的坐标为F1(，0)，F2(，0)12(2011陕西)设函数f(x)定义在(0，)上，f(1)0，导函数f(x)，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)是否存在x00，使得|g(x)g(x0)|对任意x0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由解析(1)由题设易知f(x)ln x，g(x)ln x，g(x)，令g(x)0得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故(0,1)是g(x)的单调减区
14、间，当x(1，)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，最小值为g(1)1.(2)gln xx，设h(x)g(x)g2ln xx，则h(x)，当x1时，h(1)0，即g(x)g，当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，h(x)在(0，)内单调递减，当0x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g；当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g.(3)满足条件的x0不存在证明如下：证法一假设存在x00，使|g(x)g(x0)|对任意x0成立，即对任意x0，有ln xg(x0)ln x，(*)但对上述x0，取x1eg(x0)时，有ln x1g(x0)，这与(*)左边不等式矛盾，不存在x00，使|g(x)g(x0)|对任意x0成立证法二假设存在x00，使|g(x)g(x0)|对任意的x0成立，由(1)知，g(x)的最小值为g(1)1，又g(x)ln xln x，而x1时，ln x的值域为(0，)，当x1时，g(x)的值域为1，)，从而可取一个x11，使g(x1)g(x0)1，即g(x1)g(x0)1，故|g(x1)g(x0)|1，与假设矛盾不存在x00，使|g(x)g(x0)|对任意x0成立