1、高三数学学科综合能力训练（一）一、选择题(本大题共14小题，第110小题每小题4分，第1114题每小题5分，共60分)1.已知集合A=x1，B=xlog4(x+m) 1，若AB=，则实数m的取值范围是：( ) A.1m2 B.1m2 C.1m2 D.1m22.设集合A中含有4个元素，B中含有3个元素，现建立从A到B的映射f:AB，且使B中的每个 元素在A中都有原象，则这样的映射f：AB的个数为( )A.36 B.72 C.34 D.433.如图，函数y=arcsin(cosx)在0x上的图象是( )4.设a、b、c分别是ABC中A、B、C所对边的边长，则直线sinAx+ay+c=0与bx-si
2、nB y+sinC=0的位置关系是( )A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直5.三棱锥“三条侧棱两两垂直”是“顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心”的( )A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点在直线y=x-2上滑动，对称轴作平行移动，当抛物线的 焦点移到(2a，4a+2)时，则此抛物线方程为( )A.(y+6)2=8(x+6) B.(y-6)2=8(x-6) C.(y-6)2=8(x+6) D.(y+6)2=8(x-6)7.已知数列an的前n项和为Sn，且满足loga(Sn+a)=n+1(a0且a1
3、)，则的值为( ) A.1 B.-1 C.-1或1 D.不存在8.已知直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的极坐标方程为sin(-)=，则l1与l2的夹角为( ) A. B. C.arctg D.arctg9.设an是(1+x)n(n=2,3,)展开式中xn项的系数，则(+)等于( )A.0 B.1 C.2 D.410.设方程cos2x+sin2x=a+1在0，上有两不同的实 数解，则a的取值范围为( ) A.-3，1 B.(-，1) C.(0，1) D.0，111.已知椭圆=1(ab0)，双曲线=1和抛物线y2=2px(p0 )的离心率分别为e1、e2、e3，则( ) A.e1e2e3
4、 B.e1e2e3 C.e1e2e3 D.e1e2e312.由函数y=x+2和y=x-2的图像围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的 体积是( ) A. B.64 C. D.7213.过双曲线(x-1)2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB =4，则这样的直线l有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条14.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁 盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )A.5种 B.6种 C.7种 D.8种二、填空题： (本大题共4小题，每小题4分，共16分)15.已知a=x+yi
5、(x，yR)，无穷数列an各项和为1，则x2y4的最大值为 .16.若方程=1表示椭圆或双曲线，则其焦距等于 .17.函数f(x)=lg(3x+1+9x-18)的值域是 .18.给出下列命题：(1)正四棱柱长方体=正方体;(2)函数y=x3既是奇函数又是增函数;(3)不等式x2-4ax+3a20的解集为xax3a;(4)函数y=f(x)的图像与直线x=a至多有一个交点;(5)A=xf(x)=0，xR，B=xg(x)=0，xR，C=xf(x)g(x)=0，xR，则 C=AB. 其中正确命题的序号是 .三、解答题：(本大题共6题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19.设复数z=a
6、+bi(a，bR)存在实数t，使得=-3ati，如果z-2 a，求复数z的辐角主值的取值范围.20.在ABC中，三边a、b、c依次成等差数列，各边所对的角分别为A、B、C，求5cosA-4cos AcosC+5cosC的值.21.如图，已知四棱锥SABCD的侧面SCD底面ABCD，BCAD，BCSC，且SC=SD=CD=BC=2AD =2，P为SB的中点，求：(1)异面直线SD与BC的距离；(2)二面角ASBC的大小；(3)三棱锥 SAPD的体积.22.某企业在“减员增效”中，对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领 取工资的100%，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的领取
7、工资，该企业根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属 投资阶段，没有利润，第二年每人可获b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年基 础上递增5%，如果某人分流前工资收入每年a元，分流后第n年总收入为an元.(1)求an； (2)当b=a时，这个人哪一年收入最少，最少收入是多少?(3)当ba时，是否一定可以保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入. 23.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,bR，a0)，设方程f(x)=x的两个实数根分别为x1 ，x2.(1)如果x12x24，设函数f(x)的对称轴为x=x0，求证：x0-1.(2)如果x12，x
8、2-x1=2，求b的取值范围.24.如图，给出定点A(a,0)(a0)和直线lx=-1，B是直线l上的动 点，BOA的角平分线交AB于C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系 .参考答案一、DABCA ACDCD ACCC 二、15. 16.2 17.R 18. 三、19.z=a+bi(a,bR)，=+(-3at)i，a+bi=-(-3at)i，消去t，得b=6-2a，由z-2a得(a-2)2+b2a2，将代入 得a2-7a+100，2a5.设argz=，则tg=-2.-21 0或2-arctg2.20.由题意得2b=a+c，即2sinB=sinA+sinC，即2sin(A+
9、C)=sinA+sinC，4sincos=2sincos.sin0，cos=2sin.5cosA-4cosAcosC+5cosC=52 coscos-4cos(A+C)+cos(A-C)=2c os2-22cos2-1+24(1-cos2)-1=4.21.(1)作SEDC于E.平面SCD平面ABCD，SE平面ABCD.SEBC.又BCSC，BC 平面SCD，C到SD的距离即为SD和BC的距离.SDC为正三角形，所求异面直线的距离为 2=.(2)易知AS=AB=，而P为SB的中点，APBS，连PC，SC=BC=2，PCSB. APC即为二面角ASBC的平面角，在RtSEB中，得SB=2，AP=.
10、在RtADC中，AC=.在RtSCB中，PC=2=. AP2+PC2=AC2，APC=，即所求二面角为.(3)VS-APD=VP-SAD.BCAD，P为SB中点，设d1为B到平面SAD的距离，V P-SAD=VB-SAD=SSADd1，而d1=.VS-APD=ADSD2=. 22.(1)根据题意知，当n=1时，an=a.当n2时，an=a()n-1+b(1+)n-2=a()n-1+b()n-2. an=(2)由已知b=a，当n2时，an=a()n-1+a()n-22=a，要使上式等号成立 ，当且仅当a()n-1=a()n-2即 ()2n-2=()4解得n=3.因此这个人第3年收入 最少，最少收
11、入为a.(3)当n2时，an=a()n-1+b()n-2a()n-1+()a()n-22=a. 上式等号成立，需b=a且()n-1=()n-1，即n=1+log.虽然1+log1+log=2，但1+log不是自然数，因此等号不可能取到，即当n2时，有ana，但n=2时，a2=a+a=aa.综上知，当ba 时，一定可以保证这个人分流一年后的年收入永远超过分流前的年收入.23.令(1)g(x)=ax2+(b-1)x+1=0，由题意得-4a+2b0 1， x0=-1.(2)对于ax2+(b-1)x+1=0，令b-1=c，则ax2+cx+1=0.由x2-x1=2=2即c2=4a2+4a，又x12，-6
12、x 1+x26-6-6c236a2.又0c2-4a0，4 ac236a2.由、得a，c2=4a2+4a，c或c-，b或b.24. 解法一 依题意，记B(-1,b)(bR)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(x,y)，则有0xa，则OC平分AOB，知点C到OA、OB距离相等，根据点到直线的距 离公式得 y= 依题设，点C在直线AB上，故有y=-(x-a) 由x-a0得b=- 将代入式得y21+=y+2整理得 y1-ax2-2ax+(1+a)y2=0若y0，则(1-a)x-2ax+(1+a)y2=0 (0xa)；若y=0,则b=0,AOB，点C的坐标为(0，0)，满足上式，综
13、上得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa)()当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0x1) 此时，方程表示抛物线弧段；()当a1时，轨迹方程化为 =1(0xa). 所以，当0a1时，方程表示椭圆弧段；当a1时，方程表示双曲线一支的弧段.解法二 如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CEx轴，E是垂足. (1)当BD0时，设点C(x,y),则0xa,y0由CEBD得BD= (1+a)COA=COB=COD-BOD =-COA-BOD 2COA=-BODtg(2COA)=,tg(-BOD)=-tgBODtgCOA=,tgBOD= (1+a) (1+a)整理得 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0 (0xa).()当BD0时，BOA，则点C的坐标为(0，0)，满足上式综合()、()，得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa).以下同解法一.
