1、第26章 二次函数九年级下册数学（华师版）专题训练(三)二次函数的综合应用类型一 二次函数与相似三角形相结合1(导学号 99854044)(2017新疆)如图，抛物线y12x2 32 x2与x轴交于点A、B，与y轴交于点C.(1)试求点A、B、C的坐标；(2)将ABC绕AB中点M旋转180，得到BAD.求点D的坐标；判断四边形ADBC的形状，并说明理由；(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P，使BMP与BAD相似？若存在，请直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当y0时，即0 12 x2 32 x2，解得x11，x24，则有A(1，0)，B(4，0)；当x0时，y2，则
2、C(0，2)(2)过点D作DEx轴于点E，将ABC绕AB中点M旋转180，得到BAD，DE2，AOBE1，OMME1.5，D(3，2)将ABC绕AB中点M旋转180，得到BAD，ACBD，ADBC，四边形ADBC是平行四边形AC 1222 5，BC 22422 5，AB5，AC2BC2AB2.ACB是直角三角形，ACB90.四边形ADBC是矩形(3)由题意可得BD 5，AD2 5，则BDAD12.当BMPADB时，PMBMBDAD12，可得BM2.5，则PM1.25，则P点的坐标即为P1(1.5，1.25)或P2(1.5，1.25)，如图；当BMPBDA时，BMMP BDAD 12，得MP5，
3、则P点的坐标即为P3(1.5，5)或P4(1.5，5)综上所述，P点的坐标为(1.5，1.25)或(1.5，1.25)或(1.5，5)或(1.5，5)类型二 二次函数与平行四边形相结合2(导学号 99854045)(2017临沂)如图，抛物线yax2bx3经过点A(2，3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC3OB.(1)求抛物线的表达式；(2)点D在y轴上，且BDOBAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得C(0，3)，OC3.
4、OC3OB，OB1，B(1，0)把A(2，3)，B(1，0)代入yax2bx3得4a2b33，ab30，a1，b2.抛物线的表达式为yx22x3.(2)连结AC，作BFAC交AC的延长线于点F，如图.A(2，3)，C(0，3)，B(1，0)AFx轴，F(1，3)，AFBF3，BAC45.设D(0，m)，则OD|m|，BDOBAC，BDO45，ODOB1，|m|1.m1，点D的坐标为(0，1)或(0，1)(3)设M(a，a22a3)，N(1，n)若存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则有以下两种情况：.以AB为边，则ABMN，AB MN，如 图 ，ME 对 称 轴 于 点 E，AF
5、x 轴 于 点 F，则ABFNME，NEAF3，MEBF3.|a1|3.a4或a2.M(4，5)或(2，5).以AB为对角线，BNAM，BNAM，如图，则N在x轴上，M与C重合，M(0，3)综上所述，存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时M为(4，5)或(2，5)或(0，3)类型三 二次函数与直角三角形相结合3(导学号 99854046)(2017赤峰)如图，二次函数yax2bxc(a0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)(1)求二次函数的表达式和直线BD的表达式；(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物
6、线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；(3)在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使BDQ中BD边上的高为2 2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由解：(1)设抛物线的表达式为ya(x1)24，点B(3，0)在该抛物线的图象上，0a(31)24，解得a1.抛物线的表达式为y(x1)24，即yx22x3.点D在y轴上，令x0可得y3，D点坐标为(0，3)，可设直线BD的表达式为ykx3.把B点坐标代入可得3k30，解得k1，直线BD的表达式为yx3.(2)设P(m，m3)，且m0，则M(m，m22m3)，PMm22m3(m3)(m32)294，当m32时，PM有最大值94.(
7、3)如图，过点Q作QGy轴且交BD于点G，交x轴于点E，作QHBD于点H，设Q(x，x22x3)，则G(x，x3)，QG|x22x3(x3)|x23x|.BOD是等腰直角三角形，DBO45，HGQBGE45.当BDQ中BD边上的高为22 时，即QHHG22，QG4，|x23x|4.当x23x4时，9160，方程无实数根；当x23x4时，解得x11，x24，Q(1，0)或(4，5)综上可知，存在满足条件的点Q，其坐标为(1，0)或(4，5)类型四 二次函数与等腰三角形相结合4(导学号 99854047)(2017毕节)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(1，0)、B(4，0)、
8、C(0，4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点(1)求这个二次函数的表达式；(2)是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，PBC面积最大，求出此时P点坐标和PBC的最大面积解：(1)设抛物线的表达式为yax2bxc，把A、B、C三点坐标代入可得abc0，16a4bc0，c4，解得a1，b3，c4.抛物线的表达式为yx23x4.(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方的抛物线于点P，如图，此时P点即为满足条件的点POPC，C(0，4)，D(0，2)P点的纵坐标为2.解方程x23x42，可得x13 172(小于0，舍去)，x23 172.存在满足条件的P点，其坐标为(3 172，2)(3)设P(t，t23t4)，且0t4.过点P作PEx轴于点E，交直线BC于点F，如图，B(4，0)，C(0，4)，直线BC的表达式为yx4，F(t，t4)，PF(t4)(t23t4)t24t.SPBCSPFCSPFB12PFOE12PFBE12PF(OEBE)12PFOB12(t24t)42(t2)28，当t2时，SPBC的最大值为8，此时t23t46.当P点坐标为(2，6)时，PBC的最大面积为8.