1、试卷第 1页，总 2页数学试卷卷一、单选题1从一批产品中随机抽取 3 件产品进行质量检测，记“3 件产品都不是次品”为事件 A，“3 件产品都是次品”为事件 B，“3 件产品至少有一件是次品”为事件C，则下列说法正确的是（）A任意两个事件均互斥B任意两个事件均不互斥C事件 A 与事件C 互斥D事件 B 与事件C 互斥2如图，正方形 ABCD 的边长为 2，向正方形内随机投掷 200 个点，恰有 53 个点落入阴影图形 M 中，则图形 M 的面积的估计值为（）A0.47B0.53C0.94D1.063抛掷一枚硬币，连续出现 9 次正面向上，则第 10 次出现正面向上的概率为（）A 110B 19
2、C 15D 124在区间1,4 内任取一个实数 a，使得关于 x 的方程22xa有实数根的概率为（）A 23B 25C 35D 345已知平面直角坐标系 xOy 中，直线 1:310 lxy，直线 2:310 lxy，则 1l 与 2l 的位置关系是（）A平行B重合C相交但不垂直D垂直6直线 220axy与直线()120 xay互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）A26,55B 2 6,5 5C 26,55D2 6,5 57若直线 1:1lykxk与直线 2l 关于点(3,3)对称，则直线 2l 一定过定点（）A(3,1)B2,1C5,5D(0,1)8已知直线l 经过点（1，2）且与直线 2
3、x+3y1 垂直，则 l 的方程为（）A2x+3y+40B2x+3y80C3x2y70D3x2y109执行右面的程序框图，若输入的 k=0，a=0，则输出的 k 为（）A2B3C4D510已知点(2,1),(3,)ABm，若31,313m，则直线 AB 的倾斜角的取值范围为（）A5,36B50,36 C5,3 226 D5,3 26 11已知直线10kxyk 和以3,1M，3,2N为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围为（）A32k B12k C1322kD12k 或32k 12设点(a,b)为区域4000 xyxy内任意一点，则使函数 f(x)=2ax2bx3在区间 12，+）上是增函数的
4、概率为（）A 13B 2 3C 1 2D 1 4试卷第 2页，总 2页二、填空题13一个样本 a,3,5,7 的平均数是 b,且 a,b 是方程 x2-5x+4=0 的两根,则这个样本的方差是_.14从 3 名男生和 2 名女生中随机选出 2 名志愿者，其中至少有 1 名男生的概率为_.15已知(1,2)(5,6)AB，经过 AB 的中点 M，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_16已知直线:0l axbyc，若,a b c 成等差数列，则当点(2,1)P到直线l 的距离最大时，直线l的斜率是_.三、解答题17为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长
5、委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三、的家长委员会分别有54 人，18人，36人.1 求从三个年级的家长委员会分别应抽到的家长人数；2 若从抽到的6人中随机抽取 2 人进行调查结果的对比，求这 2 人中至少有一人是高三学生家长的概率.18点 P 为两直线 l1：3x+4y2=0 和 l2：2x+y+2=0 的交点（1）求过 P 点且与直线 3x2y+4=0 平行的直线方程；（2）求过原点且与直线 l1和 l2围成的三角形为直角三角形的直线方程19受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟 2020 年的春季开学，某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程，该学校为了
6、解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了 100 名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.（1）求图中 a 的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率，若采用分层抽样的方法，从样本评分在60,70)和90,100 内的学生中共抽取5 人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取 2 人进行跟踪分析，求这 2 人中至少一人评分在60,70)内的概率.20设函数 224cf xxbx.（1）若b 和c 分别是先后拋掷一枚骰子得到的点数，求对任意,0 xR f x恒成立的概率；（2）若b 是从区间0,8 任取得一个数，c 是从0,6 任取的一个数，求函数 f x 的图象与 x 轴有交点的
7、概率.21已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a0)，直线 l2:4x-2y-1=0 和直线 l3:x+y-1=0，且 l1和 l2的距离是 7 510.(1)求 a 的值.(2)能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件：P 是第一象限的点；P 点到 l1的距离是 P点到 l2的距离的 12；P 点到 l1的距离与 P 点到 l3的距离之比是2:5?若能，求出 P 点坐标；若不能，请说明理由.22已知一条动直线 3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，（1）求证：直线恒过定点，并求出定点 P 的坐标；（2）若直线与 x、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，是否
8、存在直线满足下列条件：AOB 的周长为 12；AOB 的面积为 6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.（3）若直线与 x、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，当32PAPB取最小值时，求直线的方程.试卷第 1页，总 5页答案一、单选题112CDDADBCCCB DA二、填空题13514 91015 230 xy或50 xy1613三、解答题17、【答案】(1)3，1，2(2)93().155P X【解析】（1）家长委员会人员总数为 541836108，样本容量与总体中的个体数的比为 6110818，故从三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为 3,1,2.（2）得 A1，A2，A3 为从
9、高一抽得的 3 个家长，B1 为从高二抽得的 1 个家长，C1，C2为从高三抽得的 2 个家长则抽取的全部结果有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，C1），（A1，C2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，C1），（A2，C2），（A3，B1），（A3，C1），（A3，C2），（B1，C1），（B1，C2），（C1，C2），共 15 种令 X“至少有一人是高三学生家长”，结果有：（A1，C1），（A1，C2），（A2，C1），（A2，C2），（A3，C1），（A3，C2），（B1，C1），（B1，C2），（C1，C2），共 9 种，所以这 2 人中至少有 1 人是高
10、三学生家长的概率是 P（X）93155.18、【答案】（1）3x2y+10=0（2）4x3y=0 或 x2y=0【解析】（1）解方程组3420220 xyxy，得22xy，点 P（2，2），直线 3x2y+4=0 的斜率为 32，过 P 点的直线为 y232（x+2），即 3x2y+10=0（2）l1的斜率 k134，l2的斜率 k2=2，l1和 l2不垂直，符合条件的直线可以与 l1，l2任一直线垂直，试卷第 2页，总 5页斜率为 43或 12，直线方程为 4x3y=0 或 x2y=019【答案】（1）0.040a；（2）81.25；（3）710.【解析】（1）由题意0.0050.0100.
11、0300.015101a，所以0.040a；（2）由频率分布直方图可得评分的中位数在80,90)内，设评分的中位数为 x，则0.0050.0100.030100.040800.5x，解得81.25x，所以评分的中位数为 81.25；（3）由题知评分在60,70 和90,100 内的频率分别为 0.1 和 0.15，则抽取的 5 人中，评分在60,70 内的为 2 人，评分在90,100 的有 3 人，记评分在90,100 内的 3 位学生为 a，b，c，评分在60,70 内的 2 位学生为 D，E，则从 5 人中任选 2 人的所有可能结果为：,a b，,a c，,a D，,a E，,b c，,
12、b D，,b E，,c D，,c E，,D E，共 10 种；其中，这 2 人中至少一人评分在60,70)内可能结果为：,a D，,a E，,b D，,b E，,c D，,c E，,D E，共 7 种；所以这 2 人中至少一人评分在60,70 的概率710P.20【答案】（1）512；（2）58.（1）设“对任意,0 xR f x恒成立”为事件 A，试验的结果总数为6 636种.为 事 件 A 发 生 则2240,4cbbc ，从 而 事 件 A 所 含 的 结 果 有 1,2,1,3,1,4,1,5,1,6，2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6 共1
13、5种.1553612P A.试卷第 3页，总 5页（2）设“函 数 f x的 图 象 与 x 轴 有 交 点”为 事 件 B，事 件 B 发 生，则2240,4cbbc 又试验的所有结果构成的区域为,08,06b cbc 如图长方形区域；事件 B 所含的结果构成的区域为,08,06,Bb cbcbc如图阴影部分区域,16 86 630526 8488P B .21【答案】（1）a=3；（2）P(1 37,9 18).【解析】(1)l2 的方程即为1202xy，l1 和 l2 的距离 d=22127 51021a ，1722a.a0,a=3.(2)设点 P(x0,y0)，若 P 点满足条件，则
14、P 点在与 l1 和 l2 平行的直线l:2x-y+c=0 上，且1312255cc,即 c=132或 c=116.2x0-y0+1302 或 2x0-y0+1106.若点 P 满足条件，由点到直线的距离公式200023112 552xyxy，x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0.由 P 在第一象限，3x0+2=0 不合题意.联立方程 2x0-y0+1302 和 x0-2y0+4=0，解得 x0=-3,y0=12,应舍去.由 2x0-y0+1106 与 x0-2y0+4=0 联立，解得 x0=19,y0=3718.所以 P(1 37,9 18)即为同时满足三个条件的点.试卷第 4页，总 5
15、页22【答案】（1）证明见解析；4(,2)3P（2）存在；直线方程为 3x4y120（3）3x3y100【解析】（1）依题意直线方程为 311620mxmym，即33620mxxmyym，即36320 xymxy，所以由360320 xyxy，解得432xy，故直线过定点4,23P.（2）依题意设直线方程为10,0 xyabab，将4,23P代入得 4213ab.则()(),0,0,A aBb，则2212162ababab，解得34ab 或43ab.其中34ab 不满足，43ab 满足.所以存在直线143xy，即34120 xy满足条件.（3）由（1）知直线过定点4,23P，而若直线与 x、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，所以直线的倾斜角,2，所以24,sin3cosPAPB，所以323422cossin22sin23cossincossincosPAPB，令cossin2 cos4t，由于,2，所以35,444，所以2cos1,42 ，所以2 cos2,14t.试卷第 5页，总 5页则可化为23421122tPAPBttt，由于1ytt 在2,1上为减函数，所以41tt 在2,1上为增函数，故当2t ，即34 时，32PAPB取得最小值为44 2122.此时直线方程为342tan 43yx，即103yx ，也即33100 xy.
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