1、3.1.2函数的单调性新课程标准解读核心素养借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解函数的平均变化率，理解它们的作用和实际意义数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算第一课时单调性的定义与证明德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后89小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”问题(1)当时间间隔t逐渐增大你能看
2、出对应的函数值y有什么变化趋势？(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？知识点增函数、减函数的概念1增函数、减函数的定义一般地，设函数yf(x)的定义域为D，且ID：(1)如果对任意x1，x2I，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称yf(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)，如图所示；(2)如果对任意x1，x2I，当x1f(x2)，则称yf(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)，如图所示1单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此对x1，x2有下列要求：(1)属于同一个区间I；(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间I上的任意两个
3、值，不能用特殊值代替；(3)区分大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1x2.2并非所有的函数都具有单调性如函数f(x)它的定义域为R，但不具有单调性 2函数的单调区间在上述两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)1函数在某个区间上是单调增(减)函数，但是在整个定义域上不一定是单调增(减)函数如函数y(x0)在区间(，0)和(0，)上都是减函数，但是在整个定义域上不具有单调性2一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”或“，”连接如函数y(x0)在区间(，0)和(0，)上都是
4、减函数，不能认为y(x0)的单调减区间为(，0)(0，) 1. 在增函数和减函数定义中，能否把“任意x1，x2I”改为“存在x1，x2I”？提示：不能2函数y在定义域上是减函数吗？提示：y在定义域上不是减函数，但是它有两个单调递减区间(，0)，(0，)1下列命题中真命题的个数为()定义在(a，b)上的函数f(x)，如果x1，x2(a，b)，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，那么f(x)在(a，b)上单调递增；如果函数f(x)在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数；x1，x2(a，b)，且x1x2，当0时，f(x)在(a，b)上单调递增；x
5、1，x2(a，b)，且x1x2，f(x1)f(x2)成立，则函数f(x)在(a，b)上不是单调递增的A1B2C3 D4解析：选C是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；由f(x)，可知是假命题；0等价于f(x1)f(x2)(x1x2)0，而此式又等价于或即或f(x)在(a，b)上单调递减，是真命题，同理可得也是真命题若要说明函数f(x)在某个区间上不是单调递增(减)的，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1x2时，f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2)成立即可故是真命题2函数yf(x)的图像如图所示，其增区间是_答案：3，13下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2
6、(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)的是_(填序号)f(x)x2; f(x)；f(x)|x|; f(x)2x1.答案：4函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案：(，15若y(2k1)xb是R上的减函数，则k的取值范围为_答案：利用定义判断或证明函数的单调性例1(链接教科书第97页例1)求证：函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数证明对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).
7、0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数利用定义证明函数单调性的4个步骤 跟踪训练(多选)下列函数在(，0)上为增函数的是()Ay|x|1ByCy Dyx解析：选CDy|x|1x1(x0)在(，0)上为减函数；y1(x0)在(，0)上既不是增函数也不是减函数；yx(x0)在(，0)上是增函数；yxx1(x0)在(，0)上也是增函数，故选C、D.求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数：(1)f(x)；(2)f(x)(3)f(x)x22|x|3.解(1)函数f(x)的单调区间为(，0
8、)，(0，)，其在(，0)，(0，)上都是增函数(2)当x1时，f(x)是增函数，当xf(5x6)，则实数x的取值范围为_解析(1)f(x)x22(a1)x3的图像开口向下，要使f(x)在(，3上是增函数，只需(a1)3，即a4，实数a的取值范围为(，4(2)f(x)在(，)上是增函数，且f(2x3)f(5x6)，2x35x6，即x.x的取值范围为.1利用函数的单调性解不等式的方法利用函数的单调性解不等式，实质上是单调性的逆用，即由函数值的大小得到自变量的大小若f(x)为增函数，则当f(x1)f(x2)时x1f(x2)时x1x2.若f(x)为减函数，则当f(x1)x2，当f(x1)f(x2)时
9、x1x2.需要注意的是求解时不要忘了函数的定义域对参数的限制2利用函数单调性求参数取值范围的两种思路(1)已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解需注意若一个函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的 跟踪训练若f(x)是定义在0，)上的减函数，则不等式f(x)f(2x8)的解集是_解析：依题意，得不等式组解得x4.答案：复合函数yf(g(x)的单调性典例已知函数f(x)，x2，6(1)试判断此函数在x2，6上
10、的单调性；(2)根据(1)的判断过程，归纳出解题步骤提示：(1)函数f(x)可分解为函数y和函数ux1.因此x2，6，所以u1，5，显然函数ux1在x2，6上单调递增，函数y在u1，5上单调递减，由复合函数的单调性，知f(x)在x2，6上单调递减(2)解题步骤为：先求函数的定义域，接着分解复合函数，再判断每一层函数的单调性，最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性结论复合函数的单调性：一般地，对于复合函数yf(g(x)，单调性如表所示，简记为“同增异减”.g(x)f(x)f(g(x)增增增增减减减增减减减增迁移应用求函数f(x)的单调区间解：由题意可知82xx20，解得4x2，函数f(x)的定
11、义域为4，2设y，u82xx2.二次函数u82xx2(x1)29的单调递增区间是(，1，单调递减区间是(1，)函数yf(x)的单调递增区间是4，1，单调递减区间是(1，21(多选)如图所示的是定义在区间5，5上的函数yf(x)的图像，则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A函数在区间5，3上单调递增B函数在区间1，4上单调递增C函数在区间3，14，5上单调递减D函数在区间5，5上没有单调性解析：选ABD若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间，则不能用“”连接，故C错误易知A、B、D均正确2下列函数中，在R上是增函数的是()Ay|x| Byx Cyx2 Dy解析：选B对于A，y|x|，当x0时，函数为减函数，故错误；对于C，yx2，当xf(m9)，则实数m的取值范围是()A(，3) B(0，)C(3，) D(，3)(3，)解析：选C因为函数yf(x)在R上为增函数，且f(2m)f(m9)，所以2mm9，解得m3.故选C.5函数y(x3)|x|的单调递增区间为_解析：y(x3)|x|作出其图像如图，观察图像知单调递增区间为.答案：