1、2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1设集合A=x|0x3且xN的真子集的个数是_2命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是 _3已知函数，g（x）=x3，则f（x）g（x）+h（x）=_4已知集合A=y|y=x22x3，集合B=y|y=x2+2x+13，则AB=_5设常数aR，函数f（x）=|x1|+|x2a|，若f（2）=1，则f（1）=_6已知全集U=0，1，2，3，4，5，且BUA=1，2，AUB=5，UAUB=0，4，则集合A=_7已知集合A=a|关于x
2、的方程有唯一实数解，aR，用列举法表示集合A=_8对于集合A，B，定义运算：AB=x|xA且xB，AB=（AB）（BA）若A=1，2，B=x|x|2，xZ，则AB=_9设全集为R，对ab0，集合M=，则MCRN=_10已知关于x的不等式ax2+2x+c0的解集为，其中a，cR，则关于x的不等式cx2+2xa0的解集是_11对于实数x，若nxn+1，规定x=n，（nZ），则不等式4x220x+210的解集是_12不等式（a2）x2+2（a2）x30对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是_13定义关于x的不等式|xA|B（AR，B0）的解集称为A的B邻域若a+b3的a+b邻域是区间（3，3），则
3、a2+b2的最小值是_14给出下列四个命题：（1）若ab，cd，则adbc；（2）若a2xa2y，则xy；（3）ab，则；（4）若，则abb2其中正确命题是_（填所有正确命题的序号）二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分15下列每组中的两个函数是同一函数的是( )Af（x）=1与g（x）=x0B与g（x）=xCf（x）=x与Df（x）=x与16若a0，b0，则不等式ba等价于( )Ax0或0xBxCx或xDx或x17下列说法正确
4、的是( )A“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x25x6=0”的必要非充分条件C“a+b3”是“a1或b2”的充分非必要条件D“”是“a2且b2”的充分必要条件18若x0，y0，且+a恒成立，则a的最小值是( )A2BC2D1三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置19解关于x的不等式：mx2（2m+1）x+20（mR）20（14分）已知集合，集合B=x|x+2a|a+1，aR（1）求集合A与集合B；（2）若AB=B，求实数a的取值范围21（14分）设A=x|x2ax+a219=0，B=x|
5、x25x+6=0，C=x|x2+2x8=0（1）AB=AB，求a的值；（2）若（AB）且AC=，求a的值；（3）AB=AC，求a的值22（16分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上已知ACB=60，|AC|=30米，|AM|=x米，x10，20设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|A
6、M|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）23（18分）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）f（x2）|x1x2|成立（1）已知函数f（x）=x2+1，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；（2）已知函数g（x）=ax+bM，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x1，+）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由2015-2016学年上海师大附中高一（上）期中数学试卷一填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得
7、零分1设集合A=x|0x3且xN的真子集的个数是7【考点】子集与真子集 【专题】计算题【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n1个真子集，由此能求出集合A=x|0x3且xN的真子集的个数【解答】解：集合A=x|0x3且xN=0，1，2，集合A=x|0x3且xN的真子集的个数为231=7，故答案为：7【点评】本题考查集合的子集和真子集的个数的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答2命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是 若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数【考点】四种命题间的逆否关系 【专题】阅读型【分析】根据逆否命题的定义，先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设
8、，就得到原命题的逆否命题【解答】解：“a，b都是奇数”的否命题是“a，b不都是奇数”，“a+b是偶数”的否命题是“a+b不是偶数”，命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数”故答案为：若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数【点评】本题考查四种命题间的逆否关系，解题时要注意四种命题间的相互转化3已知函数，g（x）=x3，则f（x）g（x）+h（x）=x（x3）【考点】函数解析式的求解及常用方法 【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用【分析】先求出函数的定义域，再化简函数的解析式，可得答案【解答】解：由得：x3，又函数，g（x）=x3，f（x）g
9、（x）+h（x）=+=x（x3），故答案为：x（x3）【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求解与化简，要注意函数定义域的限制4已知集合A=y|y=x22x3，集合B=y|y=x2+2x+13，则AB=4，14【考点】交集及其运算 【专题】计算题；集合【分析】求出A与B中y的范围确定出A与B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中y=x22x3=x22x+14=（x1）244，得到A=4，+）；由B中y=x2+2x+13=（x1）2+1414，得到B=（，14，则AB=4，14，故答案为：4，14【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键5设常数aR，函数f（x）=|x1
10、|+|x2a|，若f（2）=1，则f（1）=3【考点】函数的值 【专题】函数的性质及应用【分析】利用f（x）=|x1|+|x2a|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可【解答】解：常数aR，函数f（x）=|x1|+|x2a|，若f（2）=1，1=|21|+|22a|，a=4，函数f（x）=|x1|+|x24|，f（1）=|11|+|124|=3，故答案为：3【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查6已知全集U=0，1，2，3，4，5，且BUA=1，2，AUB=5，UAUB=0，4，则集合A=3，5【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】计算题；集合思想；数形结合法；集合【分析】画出利
11、用韦恩图，直接得出结果【解答】解：全集U=0，1，2，3，4，5，且BUA=1，2，AUB=5，UAUB=0，4，由韦恩图可知A=3，5故答案为：3，5【点评】本题考查了集合的描述法、列举法表示，集合的基本运算若利用韦恩图，则形象、直观7已知集合A=a|关于x的方程有唯一实数解，aR，用列举法表示集合A=【考点】函数的零点 【专题】分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用【分析】若关于x的方程有唯一实数解，则x+a=x21有一个不为1的解，或x+a=x21有两解，其中一个为1或1，分类讨论求出满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案【解答】解：若关于x的方程有唯一实数解，则x+a=x21有一
12、个不为1的解，或x+a=x21有两解，其中一个为1或1，当x+a=x21有一个解时，=1+4a+4=0，此时a=，x=，满足条件；若x+a=x21有两解，其中一个为1时，a=1，x=0，或x=1，满足条件；若x+a=x21有两解，其中一个为1时，a=1，x=2，或x=1，满足条件；综上所述：A=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想，转化思想，难度中档8对于集合A，B，定义运算：AB=x|xA且xB，AB=（AB）（BA）若A=1，2，B=x|x|2，xZ，则AB=1，0，2【考点】子集与交集、并集运算的转换 【专题】计算题；新定义；集合思想；集合【分析】
13、由已知中AB=x|xA且xB，AB=（AB）（BA），结合已知中集合A，B，代入可得答案【解答】解：A=1，2，B=x|x|2，xZ=1，0，1，AB=2，BA=1，0，AB=1，0，2，故答案为：1，0，2【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题9设全集为R，对ab0，集合M=，则MCRN=x|bx【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】由ab0，可得b，a，由基本不等式可得，进而可得 CRN，由交集的意义，分析可得答案【解答】解：由ab0，可得b，a，由基本不等式可得，由补集的运算可得 CRN=x|x或xa，由交集的意义，可得MCRN=x|bx【点评】本题
14、考查集合间的混合运算，注意由不等式的性质，分析出集合间的关系，再来求解10已知关于x的不等式ax2+2x+c0的解集为，其中a，cR，则关于x的不等式cx2+2xa0的解集是（2，3）【考点】一元二次不等式的解法 【专题】转化思想；判别式法；不等式的解法及应用【分析】根据一元二次不等式与对应二次方程的关系，结合根与系数的关系，求出a、c的值，即可求出不等式cx2+2xa0的解集【解答】解：关于x的不等式ax2+2x+c0的解集为（，），是一元二次方程ax2+2x+c=0的两实数根，且a0；即，解得a=12，c=2；不等式cx2+2xa0化为2x2+2x+120，即x2x60，化简得（x+2）（
15、x3）0，解得2x3，该不等式的解集为（2，3）故答案为：（2，3）【点评】本题考查了一元二次不等式与对应二次方程的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是基础题目11对于实数x，若nxn+1，规定x=n，（nZ），则不等式4x220x+210的解集是2，4）【考点】其他不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】由条件求得求得x，再根据x的定义，可得x的范围【解答】解：不等式4x220x+210，求得x，2x4，故答案为：2，4）【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，x的定义，属于基础题12不等式（a2）x2+2（a2）x30对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是（1，2【考点】一
16、元二次不等式的解法 【专题】转化思想；判别式法；不等式的解法及应用【分析】根据题意，讨论a的值，求出不等式恒成立时a的取值范围【解答】解：当a=2时，不等式化为30，对xR恒成立，当时，即，解得1a2，不等式也恒成立；综上，实数a的取值范围是（1，2故答案为：（1，2【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题目13定义关于x的不等式|xA|B（AR，B0）的解集称为A的B邻域若a+b3的a+b邻域是区间（3，3），则a2+b2的最小值是【考点】绝对值不等式的解法 【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】根据新定义由题意得：|x（a+
17、b3）|a+b的解集为区间（3，3），从而得到关于 a，b的等量关系，再利用基本不等式求得a2+b2的最小值【解答】解：由题意可得|x（a+b3）|a+b的解集为（3，3），|x（a+b3）|a+b等价于（3，2（a+b）3），2（a+b）3=3，求得a+b=3，a2+b2=，故a2+b2的最小值为，故答案为：【点评】本小题主要考查绝对值不等式的解法、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与化归与转化思想，属于基础题14给出下列四个命题：（1）若ab，cd，则adbc；（2）若a2xa2y，则xy；（3）ab，则；（4）若，则abb2其中正确命题是（1）（2）（4）（填所有正确命题的序号）【考
18、点】命题的真假判断与应用 【专题】综合题；规律型；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑【分析】分别利用不等式的基本性质逐一核对四个命题得答案【解答】解：（1）由cd，得dc，又ab，则adbc故（1）正确；（2）若a2xa2y，则a20，则，xy故（2）正确；（3）若a0b，则aba0，则故（3）错误；（4）若，则ba0，abb2 故（4）正确故答案为：（1）（2）（4）【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的基本性质，是基础题二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的必须用2B铅笔将正确结论的代号涂
19、黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分15下列每组中的两个函数是同一函数的是( )Af（x）=1与g（x）=x0B与g（x）=xCf（x）=x与Df（x）=x与【考点】函数的定义域及其求法 【专题】计算题；阅读型；函数思想；函数的性质及应用【分析】分别由函数的定义域及对应关系是否相同逐一核对四个选项得答案【解答】解：f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为x|x0，两函数的定义域不同，不是同一函数；=x，g（x）=x，两函数为相同函数；f（x）=x的定义域为R，g（x）=的定义域为0，+），两函数的定义域不同，不是同一函数；f（x）=x，=|x|，两函数对应关系
20、不同，不是相同函数故选：B【点评】本题考查函数相等的概念，考查了函数定义域的求法，是基础题16若a0，b0，则不等式ba等价于( )Ax0或0xBxCx或xDx或x【考点】不等关系与不等式 【专题】计算题【分析】由题意不等式ba，然后再进行等价变换，进行移项、通分，然后进行求解【解答】解：故选D【点评】此题考查不等关系与不等式的性质，解题的关键是利用已知条件进行通分17下列说法正确的是( )A“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x25x6=0”的必要非充分条件C“a+b3”是“a1或b2”的充分非必要条件D“”是“a2且b2”的充分必要条件【考点】必要条件、
21、充分条件与充要条件的判断 【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】A原命题的否命题是“若x21，则x1”，即可判断出正误；B由x25x6=0解得x=1或6，即可得出结论；C由a=1且b=2a+b=3，且逆否命题为：若“a+b3”，则“a1或b2”，即可判断出正误D由“a2且b2”“”，反之不成立，例如a=1，b=5，即可判断出正误【解答】解：A“若x2=1，则x=1”的否命题是“若x21，则x1”，因此不正确；B由x25x6=0解得x=1或6“x=1”是“x25x6=0”的充分非必要条件，因此不正确；C由a=1且b=2a+b=3，且逆否命题为：若“a+b3”，则“a1或b2”，因
22、此“a+b3”是“a1或b2”的充分非必要条件，正确D由“a2且b2”“”，反之不成立，例如a=1，b=5，因此“”是“a2且b2”的必要非充分条件，不正确故选：C【点评】本题考查了充要条件的判定、命题之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18若x0，y0，且+a恒成立，则a的最小值是( )A2BC2D1【考点】不等式的基本性质 【专题】坐标系和参数方程【分析】由于2（x+y），x0，y0，且+a恒成立，即可得出【解答】解：2（x+y），x0，y0，且+a恒成立，a的最小值是故选：B【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各
23、题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置19解关于x的不等式：mx2（2m+1）x+20（mR）【考点】其他不等式的解法 【专题】计算题；分类讨论；综合法；不等式的解法及应用【分析】讨论m=0、m0以及m0时，对应的不等式解集的情况，求出解集即可【解答】解：（1）当m=0时，原不等式可化为x+20，即x2；（2）当m0时，分两种情形：当m0时，原不等式化为（mx1）（x2）0，即；若时，即时，不等式的解集为；若时，即时，不等式的解集为；若时，即时，不等式的解集为（，2）（2，+）；当m0时，原不等式化为；显然，不等式的解集为；综上所述：当m=0时，解集为（，2）；当时，解集为；当时，
24、解集为；当m0时，解集为【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行分类讨论，是易错题目20（14分）已知集合，集合B=x|x+2a|a+1，aR（1）求集合A与集合B；（2）若AB=B，求实数a的取值范围【考点】交集及其运算 【专题】计算题；集合【分析】（1）求出A中不等式的解集确定出A，表示出B中不等式的解集确定出B即可；（2）由A与B的交集为B，得到B为A的子集，确定出a的范围即可【解答】解：（1）由A中方程变形得：（x3）（x+2）（x+1）0，解得：x2或1x3，即A=（，2（1，3，当a+10时，即a1时，B=；当a+10时，即a1时，B=3a1，
25、a+1；（2）AB=B，BA，当a1时，B=满足题意；当a1时，B=3a1，a+1，此时有：a+12或，解得，a3或1a0，综上所述，a（，0）3，+）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键21（14分）设A=x|x2ax+a219=0，B=x|x25x+6=0，C=x|x2+2x8=0（1）AB=AB，求a的值；（2）若（AB）且AC=，求a的值；（3）AB=AC，求a的值【考点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算 【专题】计算题【分析】先通过解二次方程化简集合B，C（1）根据AB=ABA=B，利用二次方程根与系数的关系列出方程求出a的值（2）根据（A
26、B）且AC=，3A，将3代入二次方程求出a，注意要验证是否满足题意（3）由AB=AC，2A，将2代入二次方程求出a，注意要验证是否满足题意【解答】解：（1）B=x|x25x+6=0= 2，3 ，AB=AB，A=B2和3是方程 x2ax+a219=0 的两个根，2+3=a，a=5（2）（AB）且AC=，A与B有公共元素而与C无公共元素，3A93a+a219=0，解得a=2，或a=5当a=2时，A=3，5满足题意；当a=5时，A=2，3此时AC=2不满足题意，a=2（3）AB=AC，2A，42a+a219=0解得a=3，a=5当a=3时，A=2，5满足题意；当a=5时，A=2，3不满足题意，故a=
27、3故答案为：a=3【点评】本小题主要考查交、并、补集的混合运算、集合关系中的参数取值问题、方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想属于基础题22（16分）我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上已知ACB=60，|AC|=30米，|AM|=x米，x10，20设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的
28、函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法；函数的值 【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】（1）由解直角三角形，可得矩形AMPN的面积，x10，20，运用二次函数的最值求法，可得值域；（2）由三角形的面积和题意可得总造价T=T1+T2，即可得到所求；（3）运用基本不等式，计算即可得到所求x=12或18【解答】解：（1）在RtPMC中，显然|MC|=30x，PCM=60，矩形AMPN的面积，x10，20，由x（30x）（）2=225，当x=15时，可得最大值为225，当x=10或20时
29、，取得最小值200，于是为所求（2）矩形AMPN健身场地造价T1=，又ABC的面积为，即草坪造价T2=，由总造价T=T1+T2，（3），当且仅当即时等号成立，此时，解得x=12或x=18，答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低【点评】本题考查函数模型的运用，考查函数的值域和最值的求法，注意运用函数的单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题23（18分）已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）f（x2）|x1x2|成立（1）已知函数f（x）=x2+1，判断f（x）与集合M的关系，并说
30、明理由；（2）已知函数g（x）=ax+bM，求实数a，b的取值范围；（3）是否存在实数a，使得，x1，+）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由【考点】函数与方程的综合运用；函数的值 【专题】计算题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用【分析】（1）利用已知条件，通过判断任取，证明|f（x1）f（x2）|x1x2|成立，说明f（x）属于集合M（2）利用新定义，列出关系式，即可求出实数a，b的取值范围（3）通过若p（x）M，推出，然后求解a（，1）（1，+）时，p（x）M【解答】解：（1）任取，1x1+x21，0|x1+x2|1|x1+x2|x1x2|x1x2|即|f（x1）f（x2）|x1x2|成立，f（x）属于集合M（2）g（x）=ax+bM，使得任意x1、x2R，均有|g（x1）g（x2）|x1x2|成立即存在|g（x1）g（x2）|=|a|x1x2|x1x2|（3）若p（x）M，则|p（x1）p（x2）|x1x2|对任意的x1、x21，+）都成立即，|a|（x1+2）（x2+2）|x1、x21，+），|（x1+2）（x2+2）|1，|a|1，1a1当a1，1时，p（x）M；当a（，1）（1，+）时，p（x）M（18分）【点评】本题考查新定义的应用，函数与方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力、
