1、第3讲圆的方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1已知点A(1，1)，B(1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y24解析AB的中点坐标为(0，0)，|AB|2，圆的方程为x2y22.答案A2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是()A(，2) B.C(2，0) D.解析方程为(ya)21a表示圆，则1a0，解得2a.答案D3(2015福州质检)设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与圆的位置关系是()A原点在圆上 B原点在圆外C原点在圆内 D不确定解析将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(
2、y1)22a，因为0a0，即，所以原点在圆外答案B4圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.答案A5(2015东营模拟)点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，化
3、简得(x2)2(y1)21.答案A二、填空题6已知点M(1，0)是圆C：x2y24x2y0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是_解析过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2y24x2y0的圆心为C(2，1)，kCM1，最短弦所在直线的方程为y0(x1)，即xy10.答案xy107(2015南京调研)已知直线l：xy40与圆C：(x1)2(y1)22，则圆C上各点到l的距离的最小值为_解析由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1，1)到直线l的距离减去半径，即.答案8已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_解析由题意知，此平面区域表
4、示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径为，所以圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)25三、解答题9一圆经过A(4，2)，B(1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程解设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.令y0，得x2DxF0，所以x1x2D.令x0，得y2EyF0，所以y1y2E.由题意知DE2，即DE20.又因为圆过点A，B，所以1644D2EF0，19D3EF0，解组成的方程组得D2，E0，F12.故所求圆的方程为
5、x2y22x120.10求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(9，2)解(1)法一设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.圆的方程为(x1)2(y4)28.法二过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)半径r2，所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)法一设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则解得D2，E4，F95.所求圆的方程为x2y22x4y950.法二由A(1，12)，B(7，10)，得AB的中点坐标为
6、(4，11)，kAB，则AB的垂直平分线方程为3xy10.同理得AC的垂直平分线方程为xy30.联立得即圆心坐标为(1，2)，半径r10.所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.能力提升题组(建议用时：25分钟)11已知圆心(a，b)(a0，b0)在直线y2x1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2，则圆的方程为()A(x2)2(y3)29B(x3)2(y5)225C(x6)2D.解析由圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x轴相切，由题意得圆的半径为|b|，则圆的方程为(xa)2(yb)2b2.由圆心在直线y2x1上，得b2a1，由此圆在y轴上截得的弦长为
7、2，得b2a25，由得或(舍去)所以所求圆的方程为(x2)2(y3)29.故选A.答案A12已知圆C的圆心在曲线y上，圆C过坐标原点O，且分别与x轴、y轴交于A，B两点，则OAB的面积等于()A2 B3 C4 D8解析设圆心的坐标是.圆C过坐标原点，|OC|2t2，圆C的方程为(xt)2t2.令x0，得y10，y2，B点的坐标为；令y0，得x10，x22t，A点的坐标为(2t，0)，SOAB|OA|OB|2t|4，即OAB的面积为4.答案C13若圆x2(y1)21上任意一点(x，y)都使不等式xym0恒成立，则实数m的取值范围是_解析据题意圆x2(y1)21上所有的点都在直线xym0的右上方，所以有解得m1.故m的取值范围是1，)答案1，)14在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.