1、吉林省长春市实验中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）一、选择题（本题共12小题，每题5分，总计60分，把答案填涂在答题卡指定位置处）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解出集合，根据并集的定义求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2.设，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.详解：，则，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、
2、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，故为充分不必要条件.4.如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（） A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【详解】试题分析：由程序框图可知，框图统计的是成绩不小于80和成绩不小于60且小于80的人数，由茎叶图可知，成绩不小于80的有
3、12个，成绩不小于60且小于80的有26个，故，考点：程序框图、茎叶图5. 用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确是（ ）A. a，b都不能被5整除B. a，b都能被5整除C. a，b中有一个不能被5整D. a，b中有一个能被5整除【答案】A【解析】试题分析：从反证法的要求来看,须将结论，中至少有一个能被整除全部否定,所以应选A考点：反证法及命题的否定6.下列说法正确的是( )A. “f(0)”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件B. 若p：，则：，C. “若，则”的否命题是“若，则”D. 若为假命题，则p，q均为假命题【答案】C【解析
4、】分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可【详解】对于A，f （0）0时，函数 f （x）不一定是奇函数，如f（x）x2，xR；函数 f （x） 是奇函数时，f（0）不一定等于零，如f（x），x0；是即不充分也不必要条件，A错误；对于B，命题p：，则p：x，x2x10，B错误；对于C，若，则sin的否命题是“若，则sin”，正确对于D，若pq为假命题，则p，q至少有一假命题，错误；故选C【点睛】本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题7.在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，
5、为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，,则 ，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:,则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先将复数化为的形式，然后再根据由棣莫弗定理得到的复数的乘方公式计算即可【详解】由题意得复数可化为，所以故选A【点睛】本题以复数的运算为载体考查新信息问题，解题的关键是通过理解题意得到复数三角形式的乘方公式，考查计算和阅读理解的能力，属于基础题8.若，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由对数的换底公式可得,则，整理可得，再利用均值不等式求解即可.【详解】由题,，所以,即，所以，因为，所以,，所以，当且仅当
6、时等号成立，所以的最小值为.故选：D【点睛】本题考查利用均值定理求最值,考查对数的运算,考查运算能力.9.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可看出该函数是由和复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于的不等式组，解出的取值范围即可.【详解】设,令,则单调递减,在上单调递增, 上单调递减,解得: .故选:C.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.10.天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、
7、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”依此类推已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80周年时，即2029年为（ ）A. 己丑年B. 己酉年C. 壬巳年D. 辛未年【答案】B【解析】【分析】首先根据题意，判断得出天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到
8、2029年经过80年，结合1949年为“己丑”年，根据周期性得到结果.【详解】根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则，则2029年的天干为己，即余数为8，则2029年的地支为酉，所以2029年为己酉年，故选：B【点睛】该题考查的是有关周期性以及归纳推理的问题，在解题的过程中，正确找出规律是解题的关键，属于简单题目.11.若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分段函数在R上单调递增，只需要每段函数单调递
9、增且在临界点处的函数值左边小于等于右边，列出不等式即可【详解】因为函数在R上单调递增，所以；对称轴，即；临界点处，即或；综上所述：故选B【点睛】此题考查分段函数单调性问题，每段各自单调和临界点处左右单调是解题的关键点，属于较易题目12.已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式对任意恒成立，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用偶函数的性质可得：在上递减，在上递增，即可将不等式化为：对恒成立，即可转化为：且对同时恒成立，利用导数求得：，问题得解【详解】由于定义在上的偶函数在上递减，则在上递增，又，则可化为：，即对恒成立，则，所以：且对同时恒成立.且对同时恒成立
10、设，则在上递增，在上递减，.设，在上递减，.综上得：的取值范围是.故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性性质和利用函数的单调性解决不等式问题，考查了分析能力、转化能力及计算能力，还考查了利用导数求函数的最值，属于难题.二、填空题（本题共4小题，每题5分，总计20分，把答案写在答题卡指定位置处）13.已知为实数，若复数为纯虚数，则_【答案】【解析】【分析】先通过乘法运算进行化简，再利用复数的概念求解.【详解】已知为实数，因为又因为为纯虚数，所以，解得故答案为：-2【点睛】本题主要考查复数的概念和运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】
11、【解析】【分析】利用绝对值三角不等式求得的最大值为，解不等式，即可得结果【详解】，要使恒成立，则，或，即或，实数的取值范围是.故答案为.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立.15.已知函数，若“对任意，存在，使”是真命题，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题可知只要求出的最小值大于或等于的最小值即可，从而可求出m的取值范围.【详解】解：因为“对任意，存在，使”是真命题，所以只需，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因为
12、函数在上单调递减，所以所以，故答案为：【点睛】此题考查函数最值的应用，二次函数与指数函数的值域的求解，根据条件转化为求函数的最值问题是解决此题的关键，属于中档题.16.过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，则的值为_.【答案】【解析】【分析】椭圆为参数）的普通方程为，利用特殊位置进行求解即可【详解】椭圆为参数）的普通方程为，当直线的斜率不存在时，直线，代入，可得，故答案为：【点睛】本题考查椭圆参数方程与普通方程互化，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用特殊化进行求解，可简化解题过程三、解答题（本题共6小题，总计80分，把答案写在答题卡指定位置处）17.（1
13、）已知a，求证：.（2）已知为正数，且，求证.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用作差法证明即可得证;（2）由a，b，c为正数，且，将两边平方,然后结合，然后左右相加求解即可.【详解】证明：（1） ，则有（2）已知a，b，c为正数，且，则.由，左右相加得：，故，故.【点睛】本题考查了利用作差法证明不等式，重点考查了重要不等式，属基础题.18.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线按伸缩变换公式，变换得到曲线（1）求的普通方程；（2）直线过点，倾斜角为，若直线与曲线交于两点，为的中点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由伸缩变换公
14、式得到变换后的参数方程，消去参数即可得到所求普通方程；（2）写出直线的参数方程，代入椭圆方程，利用直线参数方程中参数的几何意义可知，利用韦达定理得到，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）将曲线按照伸缩变换公式变换可得：（为参数），的普通方程为：.（2）（2）直线过，倾斜角为，则其参数方程为：（为参数），代入得：，则为对应参数，对应的参数为，.【点睛】本题考查参数方程化普通方程、曲线的伸缩变换和直线参数方程中参数几何意义的应用等知识；关键是能够熟练应用直线参数方程，根据参数几何意义，结合韦达定理求得长度.19.（1）解不等式；（2）若，求证：.【答案】（1）或；（2）见解析.【解析】【分
15、析】（1）按照、分类讨论，分别解不等式即可得解；（2）两边同时平方后作差可得，即可得证.【详解】（1）当时，原不等式可转化为解得；当时，原不等式可转化为，不等式不成立；当时，原不等式可转化为，解得；所以原不等式的解集为或；（2）证明：由题意，因为，所以，所以，所以即，所以.【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解与证明，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于中档题.20.在平面直角坐标系中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线M的参数方程为 (为参数)，过原点O且倾斜角为的直线交M于A、B两点(1)求和M的极坐标方程；(2)当时，求的取值范围【答案】（1），（2）【解析】【分析】
16、（1）结合消去参数，得到极坐标方程，即可（2）将直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，得到，用表示，结合三角函数的性质，计算范围，即可【详解】（）由题意可得，直线的极坐标方程为.曲线的普通方程为，因为，所以极坐标方程为.（）设，且，均为正数，将代入，得，当时，所以，根据极坐标的几何意义，分别是点，的极径.从而： .当时，故的取值范围是.【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大21.已知曲线，直线：（为参数）.（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为.【解析】
17、试题分析：（I）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（II）关键是处理好与角的关系过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理试题解析：（I）曲线C的参数方程为（为参数）直线的普通方程为（II）曲线C上任意一点到的距离为则其中为锐角，且当时，取到最大值，最大值为当时，取到最小值，最小值为【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐
18、标方程：（2）设曲线与直线交于点两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把极坐标方程的化为，再利用可求曲线的直角坐标方程.（2）设对应的参数分别为，将直线的参数方程代入椭圆方程后可得，则是该方程的两个根，而，利用韦达定理可得，换元后可求其取值范围.【详解】解：（1）由，可得，即曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程，代入，可得：，.设对应的参数分别为，则，令，则，当时，取最大值；当时，取最小值.【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是，而直角坐标转化为极坐标，关键是直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为 （其中为参数），注意表示直线上的点到的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等