1、14空间向量的应用14.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第一课时空间中点、直线和平面的向量表示新课程标准解读核心素养1.能用向量语言表述直线和平面数学抽象2.理解直线的方向向量与平面的法向量数学抽象3.会求直线的方向向量与平面的法向量数学运算、直观想象如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1.问题(1)怎样借助空间向量来表示空间点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1?(2)设v，如果只借助v，能不能确定直线AB在空间中的位置？(3)一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点和直线的位置？知识点空间中点、直线和平面的向量表示1空间直线的向量表示式如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取a，取定
2、空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使tat2空间平面的向量表示式如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使xy3平面的法向量直线l，取直线l的方向向量a，则a叫做平面的法向量过空间点A，且以向量a为法向量的平面，可以用集合表示为P|a01空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？提示：能2一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？提示：不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)直线l的方向向量是唯一的()(2)若点A，B是平面上的任意两点，n是平面
3、的法向量，则n0.()(3)由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点()(4)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定()答案：(1)(2)(3)(4)2若A(2，1，1)，B(1，2，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(2，1，1)B(2，2，2)C(3，2，1) D(2，1，1)解析：选B(1，1，1)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选B.3已知A(0，1，1)，B(1，1，1)，C(1，0，0)，则平面ABC的一个法向量为()A(0，1，1) B(1，0，1)C(1，1，1) D(1，0，0)解析：选A设平面ABC的法向量为n(x，y，z)
4、，由(1，0，0)，(1，1，1)，可得即取y1，解得x0，z1，所以n(0，1，1)直线的方向向量例1(1)已知直线l的一个方向向量m(2，1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(1，2，z)两点，则yz等于()A0B1C. D3(2)在如图所示的坐标系中，ABCDA1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为_，直线BC1的一个方向向量为_解析(1)A(0，y，3)和B(1，2，z)，(1，2y，z3)，直线l的一个方向向量为m(2，1，3)，故设km.12k，2yk，z33k.解得k，yz.yz0.(2)DD1AA1，(0，0，1)，直线DD1的一个方向向量为(0，0
5、，1)；BC1AD1，(0，1，1)，直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)答案(1)A(2)(0，0，1)(0，1，1)(答案不唯一)求直线的方向向量关键是找到直线上两点，用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算 跟踪训练1(多选)若M(1，0，1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A(2，2，6) B(1，1，3)C(3，1，1) D(3，0，1)解析：选ABM，N在直线l上，且(1，1，3)，故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量2从点A(2，1，7)沿向量a(8，9，12)的方向取线段长|34，则B点的坐标为()A(
6、18，17，17) B(14，19，17)C. D.解析：选A设B点坐标为(x，y，z)，则a(0)，即(x2，y1，z7)(8，9，12)，因为|34，即34，得2，所以x18，y17，z17.求平面的法向量例2(链接教科书第28页例1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量解如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E，F，G，.设平面GEF的法向量为n(x，y，z)由n，n，得取y1，可得平面GEF的一个法向量为n(1，1，1)利用待定系数法求法向量的步骤 跟踪训
7、练如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：是平面PAC的一个法向量证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系不妨设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，O(1，1，0)，(1，1，2)，(2，2，0)，(2，0，1)，220，220，OB1AC，OB1AP.ACAPA，AC平面PAC，AP平面PAC，OB1平面PAC.是平面PAC的一个法向量.确定空间中点的位置例3已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线A
8、B上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件：(1)APPB12；(2)AQQB21.求点P和点Q的坐标解由已知，得2，即2()，.设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)(2，4，0)(1，3，3)，即x，y，z011.因此，P点的坐标是.因为AQQB21，所以2，2()，2.设点Q的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得(x，y，z)(2，4，0)2(1，3，3)(0，2，6)，即x0，y2，z6.因此，Q点的坐标是(0，2，6)求空间中点的坐标，一般要根据具体的题目条件恰当地设出点的坐标，根据向量式列出方程组，把向量运算转化为代数运算，解方程组可得点
9、的坐标 跟踪训练已知点A(4，1，3)，B(2，5，1)，C为线段AB上一点且，则点C的坐标为_解析：设C(x，y，z)，C为线段AB上一点且，即(x4，y1，z3)(2，6，2)，x，y1，z.因此点C的坐标为.答案：1若A(1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1，2，3) B(1，3，2)C(2，1，3) D(3，2，1)解析：选A因为(2，4，6)，所以(1，2，3)是直线l的一个方向向量2若n(2，3，1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()A(0，3，1) B(2，0，1)C(2，3，1) D(2，3，1)解析：选D易知D中的向量与n共线3若A，B，C是平面内的三点，设平面的法向量a(x，y，z)，则xyz_解析：A，B，C，.又解得xyzyy23(4)答案：234