1、吉林省长春市东北师范大学附属中学2020届高三数学上学期一摸试题 文（含解析）一、选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，求得集合，再求即可【详解】由求得集合，则故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题2.已知是虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简即可详解】故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题3.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可先判断，再根据指数函数性质进一步判断即可【详解】由题可知，设，则函数为增函数，则，则故选：D【点睛】本题考查根据指数函
2、数的性质比大小，属于基础题4.给出下列三个命题：“若，则”的逆命题为假命题；“”是“函数至少有一个零点”的充要条件；命题“”的否定是“”.其中真命题的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对命题，先求逆命题，再判断真假；对命题，先将至少有一个零点作等价转化，再结合充要条件判断；对命题，结合命题的否定一般方法加以否定即可【详解】对，“若时，则”的逆命题为：“若时，则”，当时不成立，逆命题为假命题，说法正确；对，若函数至少有一个零点，等价于，即，故为真命题；对，存在命题的否定：存在改全称，“”改成“”，故为真命题故真命题的个数为3个故选：D【点睛】本题考查命题真假的判断，属
3、于基础题5.函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数图像上两个点，选出正确选项.【详解】由于函数经过点，只有C选项符合.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，属于基础题.6.已知函数，则的图像（ ）A. 关于原点对称，但不关于轴对称B. 关于轴对称，但不关于原点对称C. 关于原点对称，也关于轴对称D. 既不关于原点对称，也不关于轴对称【答案】B【解析】【分析】先求，再结合奇偶函数判断方法进一步判断即可【详解】，即，函数为偶函数；故选：B【点睛】本题考查奇偶函数的判断方法，属于基础题7.设，则约等于（ ）（参考数据：）A. B. C. D. 【答案】
4、C【解析】【分析】可采用两边同取对数的方式，结合对数运算性质求解即可【详解】由题知，对同取对数，得，即，即；故选：C【点睛】本题考查对数的运算性质，指数与对数的互化，同取是解题关键，属于基础题8.若函数的零点与函数的零点之差的绝对值不超过，则可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可先对四个选项的零点求值，再用二分法进一步判断的零点区间，即可求解【详解】对A，的零点为；对B，的零点为；对C，的零点为；对D，的零点为；，故零点在之间，再用二分法，取，故的零点，由题的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有的零点符合；故选：A【点睛】本题考查函数零点的求法，二分法的应用，属于基
5、础题9.若函数在上为增函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数为分段函数，结合增函数性质可知，每一段函数图像都应是增函数，再结合临界点处取值建立不等关系求解即可【详解】由题知，为增函数，则，即；故选:A【点睛】本题考查根据增函数性质求解参数范围，属于基础题10.已知函数（）的零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可将函数转化，令，结合构造函数法转化成直线与圆的位置关系进行求解即可【详解】由，令，要使，（）的零点在区间内，即在内，与有交点，画出与图像，如图：当时，此时；当时，此时故故选：C【点睛】本题考查根
6、据函数零点区间求解参数问题，构造函数法求解参数，属于中档题11.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，有（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分函数为常函数和不是常函数两种形式讨论，当函数不是常函数时，函数为偶函数可知，对称轴为，再结合判断函数的增减性，画出拟合图形，结合绝对值含义即可求解【详解】若，则，此时和为偶函数都成立，函数值恒等于，当时，恒有，故等号成立；若不是常数，因为函数为偶函数，所以，函数关于对称，所以；由，当时，函数单减；当时，函数单增，可画出拟合图像，如图：，从绝对值本身含义出发，即等价于轴上到4的距离小于到4的距离，由图可知，即综上所述，则故选:D【点
7、睛】本题考查偶函数性质的延伸，根据偶函数性质比较函数值大小，数形结合思想，对思维转化能力要求高，属于难题12.将边长为正三角形纸片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】梯形周长和面积采用间接法结合图形即可快速求解，再结合导数求解最值即可【详解】如图：设的边长为，则梯形周长为：，的面积为：，梯形面积为：，则，当时，当时，故当时，故选：B【点睛】本题考查根据导数求解实际问题的最值，属于中档题二、填空题13.曲线在处的切线方程为_【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义和点斜式求解即可【详解】，当时，故函数过，由点
8、斜式可得即曲线在处的切线方程为；故答案为：【点睛】本题考查过曲线上某点对应的切线方程的求法，属于基础题14.已知函数，则_【答案】【解析】【分析】先化简，再求值即可【详解】，则故答案为：【点睛】本题考查对数的化简函数值的求法，属于基础题15.已知函数的定义域为，对于任意实数，都有，且共有五个零点，则的所有零点之和为 _【答案】【解析】【分析】根据可得函数的对称中心为，再由函数的对称性和零点个数求解即可【详解】由则函数的对称中心为，因函数有五个零点，设两对对称的零点为：和则，又函数过，故，所以故答案为：【点睛】本题考查函数对称中心的求法，根据函数零点个数求解零点之和，属于中档题16.已知定义域为
9、的奇函数，满足,下面四个关于函数的说法：存在实数，使关于的方程有个不相等的实数根；当时，恒有；若当时，的最小值为，则；若关于的方程和的所有实数根之和为零，则其中说法正确的有_（将所有正确说法的标号填在横线上）【答案】【解析】【分析】根据题意，画出函数图像，结合函数图像和函数性质逐一判断即可【详解】结合函数为奇函数，则，当时，当时，作出函数图像，如图：对，如图，存在实数使得函数有7个交点，故对；对，结合函数图像，明显函数不是严格的减函数，故错；对，可令，如图，两函数相交时，可求得交点为，要使函数最小值为1，则，对；对，若，令，则，令，则，若满足的条件，则，则，故错；故答案为：【点睛】本题考查分段
10、函数与奇函数的综合性质，函数的零点与方程的关系，数形结合的思想，属于难题三、解答题17.在中，角的对边长分别为，（）求的值；（）若，求的值.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）利用诱导公式和三角形内角和进行代换即可求解；（）由正弦定理即可求解【详解】（）为的内角，且，；（）由（）知，在中，由正弦定理得【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的使用，正弦定理解三角形，同角三角函数的基本求法，属于基础题18.设函数（）当时，求的极值；（）当时，判断的单调性.【答案】（）极小值为，无极大值；（）函数在上单调递增【解析】【分析】（）先求的导数，将时，代入，结合导数正负求解原函数的极值即可；（）结合和二次
11、函数性质判断导数正负，再判断单调区间即可【详解】（）由已知，的定义域为，当时，令，得又，所以，当时，；当时，因此，当时，有极小值，极小值为，无极大值；（）由已知，的定义域为，令，则在上递减，在上递增，因此，有最小值当时，则，此时，函数在上单调递增【点睛】本题考查根据导数求解函数极值，求解含参函数的单调性，属于中档题19.已知四棱锥，底面是菱形，为正三角形，平面底面，（）求证：；（）求点到平面距离【答案】（）证明见解析；（）【解析】【分析】（）要证，即证与所在平面垂直，可取取的中点，连结，证明平面；（）采用等体积法进行转化，由求解，先求的体积，再求，即可求得到平面的距离【详解】证明：（）取的中点
12、，连结，则，因为底面是菱形，所以是正三角形，所以，又因，所以平面，而平面，所以（）因为平面底面，且，所以平面，所以，在中，取的中点，连结，则，因为，设点到平面的距离为，则，所以【点睛】本题考查线线垂直的证明，由等体积法求点到直线距离，属于中档题20.在直角坐标系中，动点（其中）到点的距离的倍与点到直线的距离的倍之和记为，且.（）求点的轨迹的方程；（）设过点的直线与轨迹交于两点，求的取值范围.【答案】（）（）；（）【解析】【分析】（）根据题意列出方程，化简即可求得；（）分析可知，曲线只包括部分图像，分两种具体情况讨论：当斜率不存在时和斜率存在时，先确定弦长对应斜率的范围，联立直线与椭圆的方程结合
13、韦达定理表示出根与系数关系，利用焦半径公式表示出，结合前式韦达定理表示出关于的表达式，利用不等式性质即可求解【详解】（）依题意，化简得，点的轨迹的方程为（）（）将代入曲线方程，解得，设点，由（）知，轨迹是椭圆在直线的右侧的部分（包括点）可求出直线的斜率为，直线的斜率为.（1）当直线的斜率不存在时，设，此时，.（2）当直线的斜率存在时，直线的方程为.由已知，直线与轨迹交于两点，则或.设，由（）知，所以由，得.则，所以因为或，所以，所以，所以，即.综上可知，【点睛】本题考查曲线的轨迹方程求解，直线与椭圆相交弦长的求法，属于中档题21.己知函数（）当时，函数在上是减函数，求的取值范围；（）若方程的两
14、个根分别为，求证：.【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）由题，可将条件进行转化，依题意，在上是减函数等价于对恒成立，再采用分离参数法解不等式即可；（）由于方程的两个根分别为，故有，可解得，化简并联立前式可得，再设，则整体可代换为，求，根据的正负即可得证【详解】（）在上递减，对恒成立.即对恒成立，所以只需.，当且仅当时取“”，.（）由已知，得，两式相减，得.由知，设，则.在上递增，.，.即.【点睛】本题考查根据函数增减性利用导数求解参数问题，已知函数零点利用导数求证不等式恒成立问题，运算能力，属于难题22.已知在直角坐标系内，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）以为极点，轴的正半轴
15、为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）写出曲线的直角坐标方程及直线经过的定点的坐标；（）设直线与曲线相交于两点，求点到两点的距离之和的最大值【答案】（），；（）【解析】【分析】（）将曲线的极坐标化简成直角坐标即可求解曲线的直角坐标方程，直线过的定点由参数方程即可求得；（）将直线的参数方程代入曲线的标准方程，联立可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得根与系数关系，由参数的几何意义结合三角函数即可求得最值【详解】（）曲线的直角坐标方程为，直线过定点（）将直线的参数方程代入，得设点对应的参数分别为，则，因为，所以，因此，当时，有最大值【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，由直线参数的几何意义求解弦长问题，属于中档题23.已知函数，.（1）当时，解不等式；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用零点分段法确定分类标准，然后去绝对值号进行不等式求解.（2）根据范围将转化为或，再分离参数求出的范围.【详解】（1）当时，即等价于：，或，或解得或或所以原不等式的解集为：.（2）所以可化为即或式恒成立等价于或，或，.【点睛】主要考查绝对值不等式的求解以及恒成立问题，属于中档题.绝对值不等式常用零点分段法进行求解，而恒成立问题常用分离参数法或者构造函数法进行求解.