1、课时跟踪检测(十二)用空间向量研究夹角问题A级基础巩固1已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30B60C120 D150解析：选A由已知得直线l的方向向量和平面的法向量的夹角为120，因此l与所成的角为30.2在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC2，DD13，则AC与BD1所成角的余弦值为()A0 B.C D.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，3)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)所以(2，2，3)，(2，2，0)所以cos，0.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面
2、所成角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，可知CB1C160，DC1D145，设B1C11，则CC1DD1.C1D1，则有B1(，0，0)，C(，1，)，C1(，1，0)，D(0，1，)(0，1，)，(，0，)cos，.4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，设AA12AB2，则B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，C1(0，1，2)，故(1，1，0)，(0，1，2)，(0，1
3、，0)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y2，x2，所以平面BDC1的一个法向量为n(2，2，1)设直线CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|，故选A.5.如图，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCDA1B1C1D1为长方体，AA1AB2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为()A BC. D.解析：选C设AD1，则A1(1，0，2)，B(1，2，0)因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0，1，2)，F(1，1，1)，所以(1，1，0)，(0，2，2)设m(x，y，z)是平面A1BE的法向量
4、，则即取x1，则yz1，所以平面A1BE的一个法向量为m(1，1，1)又因为DA平面A1B1B，所以(1，0，0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cosm，.所以平面A1B1B与平面A1BE夹角的余弦值为，故选C.6在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin，_解析：建立如图所示空间直角坐标系，设正方体棱长为2.则C(0，2，0)，M(2，0，1)，D1(0，0，2)，N(2，2，1)(2，2，1)，(2，2，1)cos，.sin，.答案：7.如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O，D分别是AC，PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平
5、面PBC所成角的正弦值为_解析：以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，设ABa，则OPa，可求得平面PBC的法向量为n，所以cos，n，设与平面PBC所成的角为，则sin .答案：8.如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PDAB1，G为ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的余弦值为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以G，.易知平面ABCD的一个法向量为n(0，0，1)，则cos，n，所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为.答案：
6、9如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，求A1B与平面A1B1CD所成角的大小解：法一：如图，连接BC1，与B1C交于点O，连接A1O.BC1B1C，A1B1BC1，A1B1B1CB1，BC1平面A1B1CD，A1B在平面A1B1CD内的投影为A1O.OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角设正方体的棱长为1.在RtA1OB中，A1B，BO，sinOA1B，OA1B30，即A1B与平面A1B1CD所成的角为30.法二：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0
7、)，(1，0，1)，(0，1，0)设平面A1B1CD的法向量为n(x，y，z)，则取z1，得x1，n(1，0，1)又B(1，1，0)，(0，1，1)cosn，.n，60.A1B与平面A1B1CD所成的角为30.10.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以A为原点，AE，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系
8、Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0，0，0)，B(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，A1(0，0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)则cos，.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)可知平面A1DA的一个法向量为(，0，0)设m(x，y，z)为平面A1BD的一个法向量，又(，1，)，(，3，0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面A1BD的一个法向量，从而cos，m.设平面A1BD与平面A1AD所成角的大小为，则cos |cos ，m|.因为0，所以sin .因此平面A1BD与平面A1AD所成角的正弦值为.B级综合运用1
9、1.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求平面AGE与平面ACG所成角的大小解：(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，因此CBP30.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2，0，3)，(1，0)，(2，0，3)，设
10、m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.因此平面AGE与平面ACG所成的角为60.12.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ADCD1，BAD120，ACB90.(1)求证：BC平面PAC；(2)若平面PCD与平面PAC所成角的余弦值为，求点A到平面PBC的距离解：(1)证明：PA底面ABCD，BC平面ABCD，PABC，ACB90，BCAC，又PAACA，BC平面PAC.(2)设APh，取CD的中
11、点E，连接AE，则AECD，AEAB.又PA底面ABCD，PAAE，PAAB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，h)，C，D，B(0，2，0)，(0，1，0)，设平面PDC的法向量n1(x1，y1，z1)，则即取x1h，n1.由(1)知平面PAC的一个法向量为，|cosn1，|，解得h，同理可求得平面PBC的一个法向量n2(3，2)，点A到平面PBC的距离为d.C级拓展探究13.某设计部门承接一产品包装盒的设计(如图所示)，客户除了要求AB，BE边的长分别为20 cm和30 cm外，还特别要求包装盒必须满足：平面ADE平面ADC；平面ADE与平面ABC所成的角不小
12、于60；包装盒的体积尽可能大若设计出的样品满足：ACB与ACD均为直角，四边形DCBE为矩形，AB20 cm，BE30 cm.请你判断该包装盒的样品设计是否能符合客户的要求，并说明理由解：该包装盒的样品设计能符合客户的要求因为四边形DCBE为矩形，ACB与ACD均为直角，所以CA，CB，CD两两垂直，所以以C为坐标原点，CA，CB，CD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设BCt cm(t0)因为BE30 cm，而RtABC的斜边AB的长为20 cm，所以AC cm，A(，0，0)，B(0，t，0)，D(0，0，30)，E(0，t，30)，所以(，0，30)，(0，t，
13、0)设平面ADE的法向量为n1(x，y，z)，则所以取x1，则n1是平面ADE的一个法向量又平面ADC的一个法向量为(0，t，0)，所以n1100t00，所以n1，所以平面ADE平面ADC，即满足条件.以下验证包装盒的样品设计能满足条件：因为平面ABC的一个法向量为n2(0，0，1)，设平面ADE与平面ABC所成的角为，若要满足条件，则cos ，所以cos |cosn1，n2|，所以t10，即当t10时，平面ADE与平面ABC所成的角不小于60.由ACB与ACD均为直角，知AC平面DCBE，该包装盒可视为四棱锥ABCDE，所以V四棱锥ABCDES矩形BCDEAC30t10102 000，当且仅当t2400t2，即t10时，V四棱锥ABCDE最大而t1010，可以满足平面ADE与平面ABC所成的角不小于60的要求综上，该包装盒的样品设计能符合客户的要求