1、课 题：2.5函数的连续性教学目的：1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上，会判断函数在一点是否连续.2.要会说明函数在一点不连续的理由.3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义.4.要了解闭区间上连续函数的性质，即最大值最小值定理 教学重点：函数在一点连续必须满足三个条件教学难点： 借助几何图象得出最大值最小值定理授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节教学知识点有函数在一点连续满足的三个条件，函数在一点连续概念，函数在开区间和闭区间连续的定义，函数在闭区间上有最大、最小值的定义，最大最小值定理 函数的连续性是建立在极限概念基础上的，又
2、为以后微积分的学习做铺垫，它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件，这是要学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的.借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质，即最大值最小值定理.函数在一点连续必须满足三个条件，缺一不可.如何得出这三个条件，可以借助函数图象，让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理.在学生已掌握极限概念的基础上，并通过分析函数图象，让学生主动地总结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的，进行概念的顺应，得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习.教学过程：一、复习引入： 1.其中表示当从左侧趋近于
3、时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限 2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函数，不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集，是一个一个离散的点.而在我们日常生活中，也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高度会随着温度的改变而连续地上升或下降，这是一种连续变化的情况；再比如邮寄信件的邮费，随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方：20克以内是8毛钱邮票，21克30克是1元，31克40克是1.2元)等等.这就要求我们去研究函数的连续与不连续问题 二、讲解新课：1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象，从直观上看，一个函数在一点x=x0处连续，就是说图
4、象在点x=x0处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函数图象，并观察一下，它们在x=x0处的连续情况，以及极限情况.分析图，第一，看函数在x0是否连续.第二，在x0是否有极限，若有与f(x0)的值关系如何：图(1)，函数在x0连续，在x0处有极限，并且极限就等于f(x0).图(2)，函数在x0不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)，因为函数在x0处没有定义.图(3)，函数在x0不连续，在x0处没有极限.图(4)，函数在x0处不连续，在x0处有极限，但极限不等于f(x0)的值.函数在点x=x0处要有定义，是根据图(2)得到的，根据图(3)，函数在x=x0处要有极限，根据图(4)，函数在x
5、=x0处的极限要等于函数在x=x0处的函数值即f(x0).函数在一点连续必须满足刚才的三个条件.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；(2)f(x)存在；(3)f(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义2. 函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，f(x)存在，且f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.由第三个条件，f(x)=f(x0)就可以知道f(
6、x)是存在的，所以我们下定义时可以再简洁一点. 函数f(x)在点x0处连续的定义.如果函数y=f(x)在点x=x0处及其附近有定义，并且f(x)=f(x0)，就说函数f(x)在点x0处连续.那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间(a，b)内连续的定义区间是由点构成的，只要函数f(x)在开区间内的每一个点都连续，那么它在开区间内也就连续了. 3.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(
7、x)的定义域是a，b，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).4.函数f(x)在a，b上连续的定义：如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间a，b上连续,或f(x)是闭区间a，b上的连续函数.如果函数f(x)在闭区间a，b上是连续函数，那它的图象肯定是一条连续曲线. 我们来看这张图，它是连续的，在a、b两点的值都是取到，所以它一定有
8、一个最高点和一个最低点，假设在x1这点最高；那么它的函数值最大，就是说a，b区间上的各个点的值都不大于x1处的值，用数学语言表示就是f(x1)f(x)，xa，b，同理，设x2是最低点，f(x2)f(x)，xa，b.5.最大值f(x)是闭区间a，b上的连续函数，如果对于任意xa，b，f(x1)f(x)，那么f(x)在点x1处有最大值f(x1).6.最小值f(x)是闭区间a，b上的连续函数，如果对于任意xa，b，f(x2)f(x)，那么f(x)在点x2处有最小值f(x2).由图我们可以知道，函数f(x)在a，b上连续，则一定有最大最小值，这是闭区间上连续函数的一个性质.最大，最小值可以在(a，b)
9、内的点取到，也可以在a，b两个端点上取到.7.最大值最小值定理如果f(x)是闭区间a，b上的连续函数，那么f(x)在闭区间a，b上有最大值和最小值 我们现在已经学习了函数在一点连续的定义，和需要满足的三个条件，下面看两个例子，看在给定点处是否连续，都要说明理由的 三、讲解范例：例1 讨论下列函数在给定点处的连续性.(1)f(x)=，点x=0. (2)g(x)=sinx，点x=0.分析：我们如果要很直观地看在给定点是否连续，画图方法最方便我们已经画出了两个函数的图象了.从图中，我们可以直接看出在x=0处函数连续的情况，函数f(x)=在点x=0处不连续，因为函数f(x)=在点x=0处没有定义.函数
10、g(x)=sinx在点x=0处连续，因为函数g(x)=sinx，在x=0及附近都有定义，sinx存在且sinx=0而sin0=0.解：(1)函数f(x)=在点x=0处没有定义它在点x=0处不连续.解：(2)sinx=0=sin0，函数g(x)=sinx在点x=0处是连续的.点评：写g(x)=sinx在点x=0处连续只要把第三个条件写一下就可以，因为它已经包含前两个条件了，我们已经知道函数在一点连续的定义了例2 求f(x)=x x1，1的最大值和最小值解：最大值 f(1)=1；最小值 f(1)=1四、课堂练习：1下面我们直接从图中，观察函数x=a处是否连续，并说出理由.（5） （1）（2）（3）
11、（4）（1）连续.因为函数在点x=a处有定义，极限存在，并且极限值等于在a点的函数值.(如图(1) (2)不连续.因为函数在x=a处的极限值不等于在x=a处的函数值.(如图(2)(3)连续.因为函数在点x=a处，有定义，有极限，极限值等于函数值.(如图(3)(4)不连续.因为函数在x=a处没有极限.(如图(4)(5)不连续.因为函数在x=a处没有定义.(如图(5)2.利用下列函数的图象，说明函数在给定点处是否连续.(1)f(x)=，点x=0解：f(x)在x=0处没有定义. f(x)在x=0处不连续.(2)f(x)=|x|.点x=0解：f(x)=0=f(0),f(x)在x=0处连续.3.已知函数
12、(1)求f(x)的定义域；(2)作出f(x)的图形；(3)判断f(x)是否处处连续.解：(1)f(x)的定义域是4，3.5.(2)f(x)的图象如图所示.(3)由f(x)的图象可知，在定义域4，3.5上，f(x)在点x=1处不连续，因为f(x)在x=1处没有极限.点评：分段函数的定义域是其各段定义域的并集，易知基本初等函数在其定义域内都是连续的，因此分段函数在其各段内也是连续的，重点应判断各段的交界处是否连续，对这些点应用连续的定义判断，凡其图象在某点处断开，则函数在该点处不连续.4.利用函数的连续性求下列极限.(1)(lg2x+3lgx+4)；(2)，(3)初等函数(比如x;常数，指数函数、
13、对数函数、正弦函数等等)在其定义域里每一点处的极限值等于该点的函数值，因为初等函数在其定义域内是连续的，这样就可以求初等函数的极限了.(1)(2)可以用此法求解，(3)中，由于在x=1处不连续，所以不能直接用f(x)=f(x0)来求极限，可以设法约去分子、分母的公因式，再求极限.解：(1)由于lg2x+3lgx+4在x=10处连续.因此(1g2x+3lgx+4)=lg210+3lg10+4=8.(2)由于在x=0处连续，因此(3)由于在x=1处不连续.因此(x=1点为此函数的连续点)五、小结 ：这节课主要学习了函数在一点连续的定义，以及必须满足的三个条件：函数f(x)在点x=x0处有定义.f(x)存在.f(x)=f(x0).还有函数在开区间，闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最大值最小值定理 六、课后作业：1.七、板书设计（略）八、课后记：
