1、选修模块 第九章 导数、复数推理与证明第1讲导数的概念及运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2015深圳中学模拟)曲线yx3在原点处的切线()A不存在B有1条，其方程为y0C有1条，其方程为x0D有2条，它们的方程分别为y0，x0解析y3x2，ky|x00，曲线yx3在原点处的切线方程为y0.答案B2若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30解析切线l的斜率k4，设yx4的切点的坐标为(x0，y0)，则k4x4，x01，切点为(1,1)，即y14(x1)，整理得l的方程为4xy30.答案A3(2014长春模
2、拟)曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为()Ay3x1 By3x1Cy3x1 Dy2x1解析根据导数运算法则可得yexxex2(x1)ex2，则曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线斜率为y|x0123.故曲线yxex2x1在点(0，1)处的切线方程为y13x，即y3x1.答案A4已知f1(x)sin xcos x，fn1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)，fn1(x)fn(x)，nN*，则f2 015(x)等于()Asin xcos x Bsin xcos xCsin xcos x Dsin xcos x解析f1(x)sin xcos x，f
3、2(x)f1(x)cos xsin x，f3(x)f2(x)sin xcos x，f4(x)f3(x)cos xsin x，f5(x)f4(x)sin xcos x，fn(x)是以4为周期的函数，f2 015(x)f3(x)sin xcos x，故选A.答案A5(2014陕西卷)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x2x Byx3x23xCyx3x Dyx3x22x解析设三次函数的解析式为yax3bx2cxd(a0)，则y3ax22bxc.由已知得yx是函数yax3bx2cxd在点(0,0)处的
4、切线，则y|x01c1，排除B、D.又y3x6是该函数在点(2,0)处的切线，则y|x2312a4bc312a4b133ab1.只有A项的函数符合，故选A.答案A二、填空题6(2015珠海一模)若曲线yax2ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a_.解析y2ax，y|x12a10，a.答案7(2014广东卷)曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_解析由y5ex3得，y5ex，所以切线的斜率ky|x05，所以切线方程为y25(x0)，即5xy20.答案5xy208(2014江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线
5、7x2y30平行，则ab的值是_解析yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.答案3三、解答题9已知曲线yx3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程解(1)P(2,4)在曲线yx3上，且yx2，在点P(2,4)处的切线的斜率为y|x24.曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.(2)设曲线yx3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y|xx0x.切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(
6、x01)(x02)20，解得x01，或x02，故所求的切线方程为xy20，或4xy40.10(2013北京卷改编)已知曲线C：y.(1)求曲线C在点(1,0)处的切线l1的方程；(2)求过原点与曲线C相切的直线l2的方程解设f(x)，则f(x).(1)f(1)1，即切线l1的斜率k1.由l1过点(1,0)，得l1的方程为yx1.(2)设l2与曲线C切于点P，则切线l2方程为y(xx0)，l2过原点(x0)，化简得ln x0，x0，l2：y(x)，整理得yx.即为l2的方程能力提升题组(建议用时：35分钟)11已知曲线y，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为()Ax4y20 Bx4y20C4
7、x2y10 D4x2y10解析y，因为ex0，所以ex22(当且仅当ex，即x0时取等号)，则ex24，故y(当x0时取等号)当x0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为，切线的方程为y(x0)，即x4y20.故选A.答案A12(2014开封二模)过点A(2,1)作曲线f(x)x33x的切线最多有()A3条 B2条 C1条 D0条解析由题意得，f(x)3x23，设切点为(x0，x3x0)，那么切线的斜率为k3x3，利用点斜式方程可知切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)，将点A(2,1)代入可得关于x0的一元三次方程2x6x70.令y2x6x7，则y6x12x0.由y0得x00或
8、x02.当x00时，y70；x02时，y10.结合函数y2x6x7的单调性可得方程2x6x70有3个解故过点A(2,1)作曲线f(x)x33x的切线最多有3条，故选A.答案A13(2014杭州高级中学月考)已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015的值为_解析f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点P(1,1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn，x1x2x2 015，则log2 016x1log2 016x2log2 016x2 015
9、log2 016(x1x2x2 015)1.答案114设抛物线C: yx2x4，过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标解(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1kx1，y1xx14，代入得xx140.P为切点，2160得k或k.当k时，x12，y117.当k时，x12，y11.P在第一象限，所求的斜率k.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y2x5.将代入抛物线方程得x2x90.设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x29，x2，y24.Q点的坐标为.15设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程
10、为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3，当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0)(xx0)，即y(x0)(1)(xx0)令x0，得y，从而得切线与直线x0交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.