1、广东省广东实验中学2020届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）一、选择题：1.设集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:先化简集合P和Q,再求和.详解：由题得,，所以=x|x-2，所以= ，故答案为：D点睛：（1）本题主要考查集合的化简和集合的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题是易错题，解答集合的题目时，首先要看集合“|”前集合元素的一般形式，本题，表示的是函数的值域. 集合表示的是函数的定义域.2.复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 故复数（为虚数单位）的共轭复数为故选B.3.已知向量，满足，
2、则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求和的夹角，再求向量在方向上的投影.详解:因为，所以所以所以向量在方向上的投影=故答案为：A点睛：（1）本题主要考查向量的数量积和向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)在方向上的投影=4.已知变量，满足则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】分析：先作出不等式组对应的可行域，再化简，最后利用数形结合求的取值范围.详解：由题得不等式组对应的可行域如图所示，,表示可行域内的点(x,y)和点D（-1，-1）的线段的斜率，由图可知，,所以的取值范围是，故答案为：B点睛：（1）
3、本题主要考查线性规划求最值和直线的斜率，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法. (2)表示点(x,y)和点（-a,-b）的斜率.5.若函数，且， 的最小值是，则的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先要对三角函数进行化简，再通过 的最小值是推出函数的最小正周期，然后得出的值，最后得出函数的单调递增区间。【详解】 再由， 的最小值是可知，。的单调递增区间为， 。【点睛】本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间。6.已知，是方程的两根，则（）A. 4B. 2或C. D. 2【答案】D【解析】【分析
4、】利用韦达定理求得和的值，还可得到利用两角和的正切公式可得的值，再利用二倍角的正切公式求得的值【详解】解：，是方程的两根，再根据，可得，求得（舍去），或，故选：D【点睛】本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，二倍角的正切公式，属于基础题7.在公比为的正项等比数列中，则当取得最小值时，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据等比数列的性质得到，再由基本不等式的性质得到，根据等号成立的条件得到公比，进而得到结果.【详解】因为为正项等比数列，所以根据等比数列的性质得到；由基本不等式得(当且仅当时等号成立)，由，解得，所以.故选A【点睛】本题考查等比数列的性质应用以及通项公式
5、，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的下角标关系，即利用数列的基本性质.8.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出的值分别为（ ）（参考数据：）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：在半径为的圆内作出正边形，分成个小的等腰三角形，
6、可得正边形面积是，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.详解：在半径为的圆内作出正边形，分成个小的等腰三角形，每一个等腰三角形两腰是，顶角是，所以正边形面积是，当时，；当时，；当时，；符合，输出，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算
7、方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（）A. 40B. 60C. 120D. 240【答案】B【解析】【分析】本题是一个计数问题，由题意可知，可分两步完成计数，先对四名大学生分组，分法有种，然后再排到5个部门的两个部门中，排列方法有，计算此两数的乘积即可得到不同的安排方案种数，再选出正确选项【详解】解：此问题可分为两步求解，第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，考虑到重复一半，故分组方案应为种，第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中，不同的安排方式有，故
8、不同的安排方案有种故选：B【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解事件“某公司共有5个部门，有4名大学毕业生，要安排到该公司的两个部门且每个部门安排2名”，将问题分为两步来求解10.若函数在处有极大值，则常数为（ ）A. 2或6B. 2C. 6D. -2或-6【答案】C【解析】【分析】先求导，再解，得到c=6或 c=2，再检验得到常数c的值.【详解】函数f（x）=x（xc）2=x32cx2+c2x，它的导数为=3x24cx+c2，由题意知在x=2处的导数值为 128c+c2=0，c=6或 c=2，又函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极大值，故导数值在x=2处左侧为正数，右侧
9、为负数当c=2时，=3x28x+4=3（x）（x2），不满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数当c=6时，=3x224x+36=3（x28x+12）=3（x2）（x6），满足导数值在x=2处左侧为正数，右侧为负数故 c=6故答案为：C【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 是函数在存在极值的必要非充分条件，所以本题需要检验.11.已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为，宽为，圆半径为，则该几何体的体积和表面积分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】分析：几何体为圆柱中挖去一个圆锥，分别算出圆柱体
10、积和圆锥的体积即可算出该几何体的体积；分别算出圆柱的侧面积、底面积和圆锥展开的扇形面积即可求得该几何体的表面积详解：根据三视图可得，该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，圆柱底面半径和高均为，圆锥的底面圆的半径为，如图所示：该几何体的体积为；该几何体的表面积为.故选B点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图
11、确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12.设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数 根据的符号判断函数单调性，结合函数单调性的特点，得当时，f（x）0,再解不等式即可.【详解】构造函数则 ，已知当时，所以在x0时，0，即g（x）在（0，+）上是减函数，因为y=lnx在（0，+）上是增函数，所以f（x）在（0，+）上是减函数已知是奇函数，所以f（x）在（-，0）上也是减函数，f（0）=0，故当时，f（x）0,由得 ，解得x-2或0x2故选D.【点睛】本题考查了函数的导数与函数的单调性的关系，考查了奇函
12、数，以及不等式的解法，关键是构造函数，根据函数单调性分析f（x）0与f（x）0的解集.二、填空题13.在的展开式中，的系数为_【答案】60【解析】, 而在中 ， ，则 ，的系数为60.14.已知是数列的前项和，且，则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】先根据对数的运算性质可得，再通过求通项公式【详解】解：，当时，解得，当时，当时，故故答案为：【点睛】本题考查通过数列的递推公式求通项公式，考查了运算能力和转化能力，属于基础题15.三棱锥的底面是等腰三角形，侧面是等边三角形且与底面垂直，则该三棱锥的外接球表面积为_【答案】【解析】由题意，由余弦定理由正弦定理的外接圆半径等边三角形的高为3，设
13、球的半径为球心到底面的距离为，则所以，所以该三棱锥的外接球的表面积为故答案为：20【点评】本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，其中确定球的半径是是解题的关键16.已知是以为周期的上的奇函数，当，若在区间，关于的方程恰好有个不同的解，则的取值范围是_【答案】【解析】由题可得函数在上的解析式为在区间，关于的方程恰好有个不同的解，当时，由图可知 ，同理可得，当时， 即答案三、解答题17.已知数列的前项和为，且，（1），求证数列是等比数列；（2）设，求证数列是等差数列；（3）求数列的通项公式及前项和【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)【解析】【分析】（1）由已知数列递推式可，与
14、原递推式联立可得，即可证明数列是等比数列；（2）由（1）得，可得，两边同时除以即可证得数列是等差数列；（3）由（2）求出数列的通项公式，可得数列的通项公式，结合已知递推式可得数列的前项和【详解】（1）由题意，两式相减，得，又由题设，得，即，是首项为3，公比为2的等比数列；（2）由（1）得，即数列是首项为，公差为的等差数列；（3）解：由（2）得，即，则【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系与等比关系的确定，是中档题18.如图，矩形ABCD中，AD2AB4，E为BC的中点，现将BAE与DCE折起，使得平面BAE及平面DEC都与平面ADE垂直（1）求证：BC平面ADE；（2）求二面角ABEC的余
15、弦值【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】（1）过点B作BMAE于M，过点C作CNED于N，连接MN，证明BCMN即可；（2）以E为原点，ED为x轴，EA为y轴，建立空间直角坐标系Exyz，求出平面CEB的法向量，平面AEB的法向量，计算即可【详解】（1）过点B作BMAE，垂足为M，过点C作CNED于N，连接MN，如图所示；平面BAE平面ADE，平面DCE平面ADE，BM平面ADE，CNADE，BMCN；由题意知RtABERtDCE，BMCN，四边形BCNM是平行四边形，BCMN；又BC平面ADE，MN平面ADE，BC平面ADE；（2）由已知，AE、DE互相垂直，以E为原点，ED为x轴，
16、EA为y轴，建立空间直角坐标系Exyz，如图所示；则E（0，0，0），B（0，），C（，0，），设平面CEB法向量为（x，y，z），则，即，令y1，则z1，x1，（1，1，1）；设平面AEB的法向量为（x，y，z），则，易求得（1，0，0），又，二面角ABEC的平面角的余弦值为【点睛】本题考查了空间几何体以及空间向量的应用问题，是中档题19.十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分布在区间1500，3000内（
17、单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：（1）按分层抽样的方法从质量落在的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有蜜柚均以40元/千克收购；B.低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【详解】(1) 在，的蜜柚中各抽取个和个.利用列举法求得基本时间的总数为种,其中符合题意的有
18、种,故概率为.(2)首先计算出各组数据对应的频率,然后分别计算方案的总收益和方案的总收益,得出方案点的总收益高于方案的总收益,所以选择方案.（1）由题得蜜柚质量在和的比例为，应分别在质量为，的蜜柚中各抽取2个和3个.记抽取质量在的蜜柚为，质量在的蜜柚为，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：，其中质量均小于2000克的仅有这1种情况，故所求概率为.（2）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.若按方案收购：根据题意各段蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总
19、收益为 （元）若按方案收购：蜜柚质量低于2250克的个数为，蜜柚质量低于2250克的个数为,收益为 元.方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.20.已知椭圆：. （1）若椭圆的离心率为，且过右焦点垂直于长轴的弦长为，求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，试判断是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题根据，不妨令椭圆方程为，当时，得出，从而得到椭圆的标准方程；（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，联立方程得，由此得到 为定值.试题解析：（1），即，不妨令椭圆方程为，当时，得出，所
20、以椭圆的方程为.（2）令直线方程为与椭圆交于，两点，联立方程得，即， 为定值.21.已知函数，为的导函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上存在最大值0，求函数在上最大值；（3）求证：当时，.【答案】（1）见解析（2） (3)见解析【解析】分析：（1）对a分类讨论，求函数的单调区间.(2)根据函数在上存在最大值0转化得到a=1,再求函数在上的最大值.(3)先利用第2问转化得到，再证明0.详解：（1）由题意可知， ，则，当时，在上单调递增；当时，解得时，时，在上单调递增，在上单调递减综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可知，且在处
21、取得最大值，即，观察可得当时，方程成立令，当时，当时，在上单调递减，在单调递增，当且仅当时，所以，由题意可知，在上单调递减，所以在处取得最大值（3）由（2）可知，若，当时，即，可得，令，即证令，又，在上单调递减，当且仅当时等号成立所以.点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性、最值，考查导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力转化能力. (2)解答本题的难点在于先利用第2问转化得到，这实际上是放缩，再证明0.体现的主要是转化的思想.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为（其中为常数）.（1）若
22、曲线N与曲线M只有一个公共点，求的取值范围；（2）当时，求曲线M上的点与曲线N上的点之间的最小距离.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）由，可得到M的普通方程，由极坐标与直角坐标的互化公式可得N的直角坐标方程，根据数形结合的思想，画出两个函数图象，分析即可得到.（2）设M上的任意一点为，由点到直线的距离公式求出该点到曲线N的距离，转化成求二次函数的最值问题，求解即可.【详解】（1）由，得曲线M的普通方程为，曲线N的直角坐标方程为.如图： 当曲线N过点时曲线M与曲线N只有一个公共点，此时.当曲线N过点时，.当曲线N与曲线M相切时，由得，解得.结合图像可得或.（2）当时，曲线，设M上的任
23、意一点为，则该点到曲线N的距离，当且仅当时取等号，满足，所以所求最小距离为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以及直线与抛物线的位置关系的距离问题，其中解答中熟记互化公式，以及点到直线的距离公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23.已知函数，（1）求的解集；（2）若有两个不同的解，求的取值范围【答案】(1) ;(2)【解析】【分析】（1）由绝对值的意义可得：，再分段求解即可，（2）采用数形结合的数学思想方法解题，分别作的图像与直线图像，观察交点个数情况，从而得出的取值范围【详解】解：（1）由绝对值的意义可得：，当时，得：无解，当时，解得：，当时，解得：，综合可得的解集为：；（2）若有两个不同的解，即的图象与直线有两个交点，当过点时，当与中的第一段重合时，结合图象可得【点睛】本题考查了绝对值的意义、数形结合的数学思想方法，难度不大，但对作图要求较高