1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 三十三数列求和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列an,bn都是等差数列,a1=2,b1=8,且a20+b20=50.则an+bn的前20项的和为()A.600B.610C.620D.630【解析】选A.由题意知an+bn也为等差数列,所以an+bn的前20项和为:S20=600.2.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1)处的切线的斜率为3,数列的前n项和为Sn,则S2016的值为()A.B.C.D.【解析】选D.因为
2、f(x)=2x+b,所以f(1)=2+b=3,所以b=1,所以f(x)=x2+x,所以=-,所以S2016=1-+-+-=1-=.3.(2016日照模拟)已知数列an的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数n为()A.11B.99C.120D.121【解析】选C.因为an=-,所以Sn=a1+a2+an=(-1)+(-)+(-)=-1.令-1=10,得n=120.4.已知数列an的通项公式是an=2n-3,则其前20项和为()A.380-B.400-C.420-D.440-【解析】选C.由an=2n-3,得其前20项和S20=2(1+2+20)-3=2-3=420-.5.(2016南昌模拟
3、)已知数列an,bn满足a1=1,a2=2,b1=2,且对任意的正整数i,j,k,l,当i+j=k+l时,都有ai+bj=ak+bl,则的值为()A.2016B.2017C.2018D.2019【解析】选D.由a1+b2=a2+b1得b2=2+2-1=3;由b1+a3=a2+b2得a3=2+3-2=3;a3+b2=a2+b3,得b3=3+3-2=4;同理可得a4=4,b4=5,a2017=2017,b2017=2018,所以=2019.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016滨州模拟)等比数列an的前n项和Sn=2n-1,则+=.【解析】当n=1时,a1=S1=1,当n2时,an=Sn
4、-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,又因为a1=1适合上式,所以an=2n-1,所以=4n-1.所以数列是以=1为首项,以4为公比的等比数列.所以+=(4n-1).答案:(4n-1)7.(2016泰安模拟)若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n,则S100=.【解析】S100=1-2+3-4+5-6+99-100=(1-2)+(3-4)+(5-6)+(99-100)=-50.答案:-508.已知数列an满足an+1=+,且a1=,则该数列的前2016项的和等于.【解析】因为a1=,又an+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,即得an=故数列的前2016项的和S2016=
5、1008=1512.答案:1512三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016临沂模拟)已知等比数列满足an+1+an=43n-1.(1)求数列的通项公式.(2)若bn=log3an,Tn=b1-b2b3+b3b4-b4b5+b2n-1b2n-b2nb2n+1,求Tn.【解析】(1)设等比数列an的公比为q,由an+1+an=43n-1,得解得所以an=3n-1.(2)由(1)得bn=log33n-1=n-1,则b2n-1b2n-b2nb2n+1=b2n(b2n-1-b2n+1)=(2n-1)(-2)=2-4n,所以Tn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+b2n-1b2n-b2nb
6、2n+1=(b1b2-b2b3)+(b3b4-b4b5)+(b2n-1b2n-b2nb2n+1)=(2-41)+(2-42)+(2-4n)=-2n2.10.(2015天津高考)已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求和的通项公式.(2)设cn=anbn,nN*,求数列的前n项和.【解题提示】(1)设出公差d和公比q,列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项.(2)用错位相减法求和.【解析】(1)设的公比为q,的公差为d,由题意q0,由已知,有消去d得q4-2q2-8=0,解得q=2, d=2,所以的通项公式为
7、an=2n-1,nN*,的通项公式为bn=2n-1,nN*.(2)由(1)有cn=2n-1,设的前n项和为Sn,则Sn=120+321+522+2n-1,2Sn=121+322+523+2n,两式相减得-Sn=1+22+23+2n-2n=-2n-3,所以Sn=2n+3,nN*.【易错警示】解答本题会出现以下错误:在用“错位相减”求和时对相减后的项处理不当,导致漏掉项或添加项.【加固训练】设数列bn的前n项和为Sn,且bn=2-2Sn;数列an为等差数列,且a5=14,a7=20(nN*).(1)求数列bn的通项公式.(2)若cn=anbn(n=1,2,3),Tn为数列cn的前n项和,求Tn.【
8、解析】(1)由bn=2-2Sn,令n=1,则b1=2-2S1,又S1=b1,所以b1=,当n2时,由bn=2-2Sn,可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn,即=,所以bn是以b1=为首项,为公比的等比数列,于是bn=2.(2)数列an为等差数列,公差d=(a7-a5)=3,因为a5=a1+4d,所以a1=2.所以an=3n-1.从而cn=anbn=2(3n-1),所以Tn=2,Tn=2,所以Tn=2,Tn=-.(20分钟40分)1.(5分)(2016威海模拟)已知数列an:,+,+,+,那么数列bn=的前10项和S10=()A.B.C.D.【解析】选B.由已知条件可得数列an的
9、通项公式为an=,所以bn=4.S10=4=4=.2.(5分)(2016汕头模拟)已知数列an的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等于()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.因为an=1-,所以Sn=+=n-=n-=n-=n-1+.所以n-1+=4+,解得n=5.【加固训练】Sn=1+(1+)=.【解析】1+=2=2-,Sn=1+(1+)=2-+2-+2-+2-=2n-=2n-2+.答案:2n-2+3.(5分)已知数列an中,a1=1,an+1=(-1)n(an+1),记Sn为an前n项的和,则S2016=.【解题提示】先探求数列的周期性,再分组求和.【解析】由a1=1,an+1=
10、(-1)n(an+1)可得该数列是周期为4的数列,且a1=1,a2=-2, a3=-1,a4=0.所以S2016=504(a1+a2+a3+a4)=504(-2)=-1008.答案:-10084.(12分)(2016日照模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40;数列的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,nN*.(1)求数列,的通项公式.(2)设cn=求数列的前n项和Pn.【解析】(1)设an的公差为d,由题意,得所以an=4n,因为Tn-2bn+3=0,所以当n=1时,b1=3,当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0,两式相减,得bn=2bn-1(n2),数列为等比数列
11、,所以bn=32n-1.(2)cn=当n为偶数时,Pn=(a1+a3+an-1)+(b2+b4+bn)=+=2n+1+n2-2.当n为奇数时,方法一:n-1为偶数,Pn=Pn-1+cn=2(n-1)+1+(n-1)2-2+4n=2n+n2+2n-1.方法二:Pn=(a1+a3+an-2+an)+(b2+b4+bn-1)=+=2n+n2+2n-1.所以Pn=5.(13分)(2016郑州模拟)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an.(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.【解析】(1)由题意得,5a3a1=(2a2+2)2
12、,即d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn,因为d0),因为a1,a3,a9成等比数列,所以=a1a9,所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),所以d2=a1d,因为d0,所以a1=d,因为S5=,所以5a1+d=(a1+4d)2,由得a1=,d=,所以an=+(n-1)=n(nN*).(2)bn=,所以b1+b2+b3+bn=(1+1-+1+-+1+-+1+-)=.2.正项数列an的前n项和Sn满足:-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列an的通项公式an.(2)令bn=,数列bn的前n项和为Tn.证明:对于任意的nN*,都有Tn0,Sn=n2+n.于是a1=S1=2,n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列an的通项公式an=2n.(2)由于an=2n,bn=,则bn=.Tn=.关闭Word文档返回原板块
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