1、第4讲空间中的垂直关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABmBACmCABDAC解析如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有D不一定成立，故选D.答案D2(2015抚顺模拟)设a是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，则下列说法正确的是()A过a一定存在平面，使得B过a一定存在平面，使得C在平面内一定不存在直线b，使得abD在平面内一定不存在直线b，使得ab解析当a与相交时，不存在过a的平面，使得，故A错误；直线a与其在平面内的投影所确定的平面满足，故选B；
2、平面内的直线b只要垂直于直线a在平面内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与平行时，在平面内存在直线b，使得ab，故D错误答案B3.如图，已知ABC为直角三角形，其中ACB90，M为AB的中点，PM垂直于ABC所在平面，那么()APAPBPCBPAPBPCCPAPBPCDPAPBPC解析M为AB的中点，ACB为直角三角形，BMAMCM，又PM平面ABC，RtPMBRtPMARtPMC，故PAPBPC.答案C4(2015青岛质量检测)设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则能得出ab的是()Aa，b，Ba，b，Ca，b，Da，b，解析A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中
3、，两直线平行，故不正确；C中，由，a可得a，又b，得ab，故正确；D中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确答案C5. (2015深圳调研)如图，在四面体DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理有DEAC，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE，所以选C.答案C二、填空题6.如图，PA圆O所在的平面，AB是
4、圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确结论的序号是_解析由题意知PA平面ABC，PABC.又ACBC，且PAACA，BC平面PAC，BCAF.AFPC，且BCPCC，AF平面PBC，AFPB，AFBC.又AEPB，AEAFA，PB平面AEF，PBEF.故正确答案7如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析PC在底面ABCD上的射影为AC，且ACBD，BDPC.当DMPC(或BMP
5、C)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC)8如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_ cm3.解析连接AC交BD于O，在长方体中，ABAD3，BD3且ACBD.又BB1底面ABCD，BB1AC.又DBBB1B，AC平面BB1D1D，AO为四棱锥ABB1D1D的高且AOBD.S矩形BB1D1DBDBB1326，VABB1D1DS矩形BB1D1DAO66(cm3)答案6三、解答题9. (2014大连测试)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12AC2BC，D是棱AA1的中点
6、，CDB1D.(1)证明：CDB1C1；(2)平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D为AA1的中点，故DCDC1，又AA12A1C1，可得DCDC2CC，所以CDDC1，而CDB1D，B1DC1DD，所以CD平面B1C1D，因为B1C1平面B1C1D，所以CDB1C1.(2)解由(1)知B1C1CD，且B1C1C1C，则B1C1平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1VB1CDA1C1S梯形CDA1C1B1C1B1CB1C.V总VABCA1B1C1ACBCCC1B1C，V2V总V1B1
7、CV1，故11.10.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD.所以PA
8、CD.所以CD平面PAD.从而CDPD.又E，F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.故CDEF，CD平面PCD，由EF，BE平面BEF，且EFBEE.所以CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部解析由BC1AC，又BAAC，则AC平面ABC1，因此平面ABC平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上答案A12(2014衡水中学模拟)如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足
9、为点H.则以下命题中，错误的命题是()A点H是A1BD的垂心BAH垂直于平面CB1D1CAH延长线经过点C1D直线CB1和CD1所成角为45解析对于A，由于AA1ABAD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1，B，D的距离相等，即点H是A1BD的外心，而A1BA1DBD，故点H是A1BD的垂心，命题A是真命题；对于B，由于B1D1BD，CD1A1B，故平面A1BD平面CB1D1，而AH平面A1BD，从而AH平面CB1D1，命题B是真命题；对于C，由于AH平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题C是真命题；对于D，因为B1CD1为正三角形，所以B1CD60，故直线CB1和CD1所成角
10、为60，因此命题D是假命题答案D13(2013河南师大附中二模)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中：PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45.其中正确的有_(把所有正确的序号都填上)解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE，又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB，又PB平面PAB，AEPB，正确；又平面PAD平面ABC，平面ABC平面PBC不成立，错；由正六边形的性质得BCAD，又AD平面PAD，BC平面PAD，直线BC平面PAE也不成立，错；在RtPAD中，PAAD2AB，PDA45，正确
11、答案14.如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DBBC，DBAC，点M是棱BB1上一点(1)求证：B1D1平面A1BD；(2)求证：MDAC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D.(1)证明由直四棱柱，得BB1DD1，又BB1DD1，BB1D1D是平行四边形，B1D1BD.而BD平面A1BD，B1D1平面A1BD，B1D1平面A1BD.(2)证明BB1平面ABCD，AC平面ABCD，BB1AC.又BDAC，且BDBB1B，AC平面BB1D.而MD平面BB1D，MDAC.(3)解当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1平面CC1D1D.理由如下：取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示N是DC的中点，BDBC，BNDC.又DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD平面DCC1D1，BN平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，BMON且BMON，即BMON是平行四边形BNOM.OM平面CC1D1D.OM平面DMC1，平面DMC1平面CC1D1D.