1、第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1若直线axby1与圆x2y21相交，则P(a，b)()A在圆上B在圆外C在圆内D以上都有可能解析由1，点P在圆外答案B2圆x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20Bxy40Cxy40Dxy20解析易知圆心C坐标为(2,0)，则kCP，所以所求切线的斜率为.故切线方程为y(x1)，即xy20.答案D3(2015沈阳质量监测)已知圆O1：(xa)2(yb)24，O2：(xa1)2(yb2)21(a，bR)，则两圆的位置关系是()A内含B内切C相交D外切解析由O1：(xa)2(yb)24得圆心坐标为(a，b
2、)，半径为2；由O2：(xa1)2(yb2)21得圆心坐标为(a1，b2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|，因为|21|1213，所以两圆相交，故选C.答案C4过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30B2xy30C4xy30D4xy30解析如图所示：由题意知：ABPC，kPC，kAB2，直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30.答案A5若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为()Ak，b4Bk，b4Ck，b4Dk，b4解析因为直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线
3、2xyb0对称，则ykx与直线2xyb0垂直，且2xyb0过圆心，所以解得k，b4.答案A二、填空题6(2015青岛质量检测)直线y2x1被圆x2y21截得的弦长为_解析圆x2y21的圆心O(0,0)，半径r1.圆心O到直线y2x1的距离为d，故弦长为22.答案7(2014武汉调研)过点P(1,1)的直线，将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为_解析当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件圆心O与P点连线的斜率k1，所以直线OP垂直于xy20.答案xy208(2014重庆卷)已知直线xya0与圆心为C的圆x2y22x4y40相交于A，B两点，且ACBC，则实数
4、a的值为_解析由x2y22x4y40，得(x1)2(y2)29，圆C的圆心坐标为(1,2)，半径为3.由ACBC，知ABC为等腰直角三角形，所以C到直线AB的距离d，即，所以|a3|3，即a0或a6.答案0或6三、解答题9已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.若直线l过P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程解如图所示，AB4，D是AB的中点，CDAB，AD2，圆x2y24x12y240可化为(x2)2(y6)216，圆心C(2,6)，半径r4，故AC4，在RtACD中，可得CD2.当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50，由点C到直线AB的距离公式
5、，得2，解得k.此时直线l的方程为3x4y200；当直线l的斜率不存在时，方程为x0，则y212y240，y162，y262，|y2y1|4，故x0满足题意；所求直线的方程为3x4y200或x0.10已知直线l：ykx1，圆C：(x1)2(y1)212.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长法一(1)证明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因为(24k)228(k21)0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22 ，令t，则t
6、k24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最大值为4，此时|AB|最小为2.法二(1)证明圆心C(1，1)到直线l的距离d，圆C的半径R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)241180对kR恒成立，所以R2d20，即dR，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由平面几何知识，知|AB|22 ，下同法一法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|2R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点(2)解由
7、平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和PC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.能力提升题组(建议用时：25分钟)11已知圆C1：(xa)2(y2)24与圆C2：(xb)2(y2)21相外切，则ab的最大值为()A.BCD2解析由两圆相外切可得圆心(a，2)，(b，2)之间的距离等于两圆半径之和，即(ab)29a2b22ab4ab，所以ab，即ab的最大值是(当且仅当ab时取等号)，故选C.答案C12圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点有()A1个B2个C3个D4个解析因
8、为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个答案C13已知两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是_解析圆C1的圆心为(1，5)，半径为，圆C2的圆心为(1，1)，半径为，则两圆心连线的直线方程为2xy30，由两圆方程作差得公共弦方程为x2y40，两直线的交点(2,1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为，即所求圆的方程为(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)2514(2014新课标全国卷)已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B
9、两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解(1)圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则(x，y4)，(2x,2y)由题设知0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为，故l的方程为x3y80.又|OM|OP|2，O到l的距离为，所以|PM|，SPOM，故POM的面积为.