1、精品题库试题 理数1.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于（ ）A B CD 1. B 1.由题意可得抛物线的轴为轴，所以所在的直线方程为，在抛物线方程中，令可得，即从而可得，因为经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，所以直线的方程为，故选B2.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线准线上的是（ ） A. B. C. D. 2. D 2. 因为抛物线的焦点坐标为，
2、准线方程为，所以双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴且为满足条件. 故选D.3. (2014贵州贵阳高三适应性监测考试, 10) 在平面直角坐标系中，抛物线: 的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积，则（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8 3.B 3.因为的中垂线过外接圆圆心，所以此直线与准线的距离即为外接圆半径，故=，故.4. (2014北京东城高三第二学期教学检测，7) 已知抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点, 若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）A. B. C. D. 4.D 4. 由已知可得抛物线的焦点，双曲线的右焦点为，两个点连
3、线的直线方程为。设该直线与抛物线于，则在处的切线的斜率为，由题意知，所以，所以，代入直线方程可解得5.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，10）如图，已知直线l：y=k(x+1) (k 0) 与抛物线C：y2=4x相交于A、B两点，且A、B两点在抛物线C准线上的射影分别是M、N，若|AM|=2|BN|，则k的值是( ) (A) (B) (C) (D) 2 5. C 5. 设点，则由抛物线的定义可得，整理得.联立直线与抛物线方程得，根据根与系数的关系，可得，与联立得，所以点，其斜率为.6.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，10）给定圆: 及抛物线：过圆心作直
4、线, 此直线与上述两曲线的四个交点, 自上而下顺次记为如果线段的长按此顺序构成一个等差数列, 则直线的斜率为（ ）A B CD 6. C 6. 圆P的圆心P（1,0），抛物线的焦点坐标为（1,0）. 由圆P与抛物线的位置关系可得，点A和点D在抛物线上，点B和点C在圆上，因为直线l过圆心，可得BC=2，又因为的长按此顺序构成一个等差数列可得，设点，根据抛物线的定义可知，可得. 显然直线l的斜率存在，设直线方程为，联立直线与抛物线方程可得，解得.7.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，11）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为2，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，
5、且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（ ）A 7. C 7. 根据题意可设双曲线的方程为. 根据抛物线的定义可得点M（），设点，则、，两式相减得，因为，则得，即直线l的斜率为.8.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，9）若抛物线的焦点是F，准线是，点M（4，4）是抛物线上一点，则经过点F、M且与相切的圆共有（ ）A0个 B1个 C2个 D4个 8. C 8. 焦点F的坐标为（1,0），准线为x=1，由圆与相切可设圆的方程为: ，则由题意可得、两式联立得，代入到中消b得关于a的一元二次方程，此方程有两个实数根，由此可得此圆共有2个.9. (2014重庆五区高三第一次学生调研抽测，8) 设
6、为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则的值为 （ ）A. B. C. D. 12 9. B 9. 由得.所以. 选B.10.(2014湖北八市高三下学期3月联考，9) 己知抛物线的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为( )A+1 B2 C D1 10. A 10. 由题意得抛物线上的点在双曲线上，而，所以点在双曲线上，因此又因为，所以.11. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），6) 在同一坐标系中，离心率为的椭圆与离心率为的双曲线有相同的焦点，椭圆与双曲线的一个交点与两焦点的连线互相垂直，则 ( ) (A) 2（B）3 （C） （D） 11.
7、 A 11. 依题意，设焦距为，椭圆长轴长，双曲线实轴长，令点在上去先的右支上，由椭圆的定义知，由双曲线的定义知，又，由得，即，故.12. (2014天津七校高三联考, 6) 以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（ ）（A）（B）（C）（D） 12. D 12. 由双曲线方程知，实轴长为6，离心率，右焦点坐标，即圆心的坐标，渐近线方程为，圆心到渐近线的距离为，即圆的半径为4，故所求的圆的方程为.13. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 8) 已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若线段的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为 （ ）A. B. C
8、. D. 13. C 13.设，由于直线过焦点且斜率为，则其方程为，联立方程组，消去得，.故抛物线的准线方程为.14. (2014湖北黄冈高三期末考试) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于、两点，为坐标原点，的面积为，则双曲线的离心率（ ）A. B. C. D. 14. C 14.双曲线的性质. 双曲线的渐近线方程为，准线方程为，又，即，解得.15. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 设F为抛物线的焦点，、为该抛物线上三点，若，则的值为（ ）（A）3（B）4（C）6（D）9 15. C 15. 由题意可得，点时抛物线的焦点，也是三角形的重心，故，再由抛物线的定义可得.16.
9、 (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则=_. 16.1+ 16.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又抛物线y2=2px(p0)经过C、F两点,从而有即b2=a2+2ab,-2-1=0,又1,=1+.17. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是_. 17. y=3 17. 抛物线的标准方程为：，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，所以其准线方程为y=3.18. (2014河北唐山高三第一次模拟考试，15) 过抛物线：的焦点作直线交抛物线
10、于、两点，若到抛物线的准线的距离为4，则_. 18. 18. 设，由抛物线的性质：，所以，又，所以，从而.19. (2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 15) 已知抛物线到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线一条渐近线与直线垂直，则实数_. 19. 19.由已知可得，从而. 因为，所以，从而渐近线的斜率为，故，得.20. (2014兰州高三第一次诊断考试, 15) 如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是 . 20. 20. 如图，分别过点、作准线的垂线，分别交准线于、，设，则由已知得，由抛物
11、线的定义知，故，在直角三角形中，即，又，即，故所求抛物线方程为.21. (2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.()求C的方程;()过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程. 21.查看解析 21.()设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由题设得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程为y2=4x.(5分)()依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my
12、+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m
13、2+1)2+=.化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)22. (2014陕西,2017,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(ab0,y0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.()求a,b的值;()过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若APAQ,求直线l的方程. 22.查看解析 22.()在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a
14、=2.a=2,b=1.()解法一:由()知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(xP,yP),直线l过点B,x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得xP=,从而yP=,点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).=(k,-4),=-k(1,k+2).APAQ,=0,即=0,k0,k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m0)
15、,比照解法一给分.23.(2014安徽,19,13分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p10)和E2:y2=2p2x(p20),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.()证明:A1B1A2B2;()过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值. 23.查看解析 23.()证明:设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k20),则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以=2p1,=2p2,故=,所以A1B1A2B2
16、.()由()知A1B1A2B2,同理可得B1C1B2C2,C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此=.又由()中的=知=.故=.24.(2014山东,21,14分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,ADF为正三角形.()求C的方程;()若直线l1l,且l1和C有且只有一个公共点E,(i)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ii)ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由. 24.查看解析 24.()由题意知F.设D(
17、t,0)(t0),则FD的中点为.因为|FA|=|FD|,由抛物线的定义知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去).由=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.()(i)由()知F(1,0),设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|=|FD|,则|xD-1|=x0+1,由xD0得xD=x0+2,故D(x0+2,0).故直线AB的斜率kAB=-.因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为y=-x+b,代入抛物线方程得y2+y-=0,由题意=+=0,得b=-.设E(xE,yE),则yE=-,xE=,当4时,kAE=-=,可得直线AE的方程为y-y0=(x
18、-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),直线AE恒过点F(1,0).当=4时,直线AE的方程为x=1,过点F(1,0),所以直线AE过定点F(1,0).(ii)由(i)知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0+2.设直线AE的方程为x=my+1,因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m=,设B(x1,y1),直线AB的方程为y-y0=-(x-x0),由于y00,可得x=-y+2+x0,代入抛物线方程得y2+y-8-4x0=0.所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4,所以点B到直线AE的距离为d=4.则ABE的面积S=416,
19、当且仅当=x0,即x0=1时等号成立.所以ABE的面积的最小值为16.25. (2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，20) 抛物线C1：的焦点与椭圆C2：的一个焦点相同. 设椭圆的右顶点为A，C1, C2在第一象限的交点为B，O为坐标原点，且的面积为. (1) 求椭圆C2的标准方程；（2）过A点作直线交C1于C, D两点，连接OC, OD分别交C2于E, F两点，记，的面积分别为, . 问是否存在上述直线使得，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由. 25.查看解析 25. （1）焦点即1分又 2分代入抛物线方程得. 又B点在椭圆上得，椭圆C2的标准方程为
20、. 4分（2）设直线的方程为，由得设，所以6分又因为直线的斜率为，故直线的方程为，由得，同理所以则，10分所以，所以，故不存在直线使得 12分26. (2014福州高中毕业班质量检测, 19) 已知动圆过定点, 且与直线相切. （）求动圆圆心的轨迹方程；（）设、是轨迹上异于原点的两个不同点, 直线和的倾斜角分别为和,当=时, 求证直线恒过一定点；若为定值, 直线是否仍恒过一定点, 若存在, 试求出定点的坐标；若不存在, 请说明理由. 26.查看解析 26.() 设动圆圆心, 依题意点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为. （3分）() 设，. 由题意得(否则) 且,则，所以直线的斜率
21、存在, 设直线的方程为,则将与联立消去, 得，由韦达定理得-（6分）当=时, 所以,所以, 又由知: ，所以；因此直线的方程可表示为, 所以直线恒过定点(4,0).当为定值时. 若=, 由知,直线恒过定点，（9分）当时, 由, 得=将式代入上式整理化简可得: , 所以,此时，直线的方程可表示为y=kx+,所以直线恒过定点，所以当时, 直线恒过定点(4,0).,当时直线恒过定点. （13分）27. (2014河北石家庄高中毕业班复习教学质量检测（二），20) 已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为4. 设该动圆圆心的轨迹为曲线.（）求曲线方程；（）点为直线：上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为、，
22、面积的最小值及此时点的坐标. 27.查看解析 27.（）设动圆圆心坐标为，根据题意得：，化简得. （4分）（）解法一：设直线的方程为，由消去得，设，则，且，（6分）以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为，即，同理过点的切线的方程为，设两条切线的交点为在直线上，解得，即，则，即，（8分）代入，到直线的距离为，当时，最小，其最小值为，此时点的坐标为. （12分）解法二：设在直线上，点在抛物线上，则以点为切点的切线的斜率为，其切线方程为，即，同理以点为切点的方程为，（6分）设两条切线的均过点，则，点、的坐标均满足方程，即直线的方程为：，（8分）代入抛物线方程消去可得：，直线的距离为，当时，最小，其最
23、小值为，此时点的坐标为. （12分）28.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，21）如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点, C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4,0）的直线与抛物线C2分别相交于A、B两点.（）写出抛物线C2的标准方程； （）求证：以AB为直径的圆过原点；（）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线C2上，直线与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值 28.查看解析 28. (1) 设抛物线的标准方程为 由得, ; 3分 (2) 可设, 联立 得 , 设 , 即以为直径的圆过原点; 8分 (3) 设, 则 得 10分 设椭圆，与直线联立可得： 长轴
24、长最小值为 13分29. (2014吉林高中毕业班上学期期末复习检测, 21) 已知抛物线: 的准线为，焦点为，的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点作倾斜角为的直线，交于点，交于另一点，且 （） 求和抛物线的方程;（） 过上的动点作的切线，切点为、，求当坐标原点到直线 的距离取得最大值时，四边形的面积. 29.查看解析 29. （）准线交轴于，在中，所以, 所以，抛物线方程是 ， (3分)在中有, 所以，所以方程是： . (6分)（）解法一：设，所以切线；切线 ， (8分)因为和交于点，所以和成立 ，所以ST方程： ， (10分)所以原点到距离，当，即在y轴上时有最大值，此时直线ST方程是 ，所以，所以此时四边形的面积 . (12分)
