1、精品题库试题 理数1.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 1.A 1.因为“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”,因此,要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.2.(2014北京,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学
2、生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人 2.B 2.设学生人数为n,因为成绩评定只有“优秀”“合格”“不合格”三种情况,所以当n4时,语文成绩至少有两人相同,若此两人数学成绩也相同,与“任意两人成绩不全相同”矛盾;若此两人数学成绩不同,则此两人有一人比另一人成绩好,也不满足条件.因此:n4,即n3.当n=3时,评定结果分别为“优秀,不合格”“合格,合格”“不合格,优秀”,符合题意,故n=3,选B.3. （2014广东汕头
3、普通高考模拟考试试题，8）设）为平面直角坐标系上的两点，其中. 令, , 若, 且，则称点B为点A的“相关点” ，记作：, 已知）为平面上一个定点，平面上点列满足：=，且点的坐标为，其中, 则点的相关点” 有（ ）个A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3.C 3. 因为为非零整数）故或，所以点的相关点有8个.4.(2014陕西,15(B),5分)B.(几何证明选做题)如图,ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=_. 4.3 4.四边形BCFE内接于圆,AEF=ACB,又A为公共角,AEFACB,=,又BC=6,AC=2AE.EF=3.5
4、. (2014陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是_. 5.F+V-E=2 5.观察表中数据,并计算F+V分别为11,12,14,又其对应E分别为9,10,12,容易观察并猜想F+V-E=2.6.(2014课表全国，14，5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为_. 6.A 6.由于甲、乙、丙三人去过同一城市,而甲没有去过B城市,乙没有去
5、过C城市,因此三人去过同一城市应为A,而甲去过的城市比乙多,但没去过B城市,所以甲去过的城市数应为2,乙去过的城市应为A.7. (2014福州高中毕业班质量检测, 15) 已知函数 , 若数列满足, 且的前项和为, = . 7. 8042 7. 依题意，所以，猜想，所以.8. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，14) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1, 2,3, 5,8, 13，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，该书咧是一个非常美丽和谐的数列. 有很多奇妙的属性. 比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.618033
6、9887，人们称该数列为“斐波那契数列”. 若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列，在数列中第2014项的值为 ；数列中，第2014个值为1的项的序号是 . 8. 3 4027 8. 因为是周期为6的周期数列，前6项为：1，1，2，3，1，0，所以第2014=6335+4项的值是3；因为每个周期内含有三个1，2014=3671+1，所以第2014个值为1的项的序号是6671+1=4027.9. (2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，13) 已知，由不等式，, ，归纳得到推广结论：，则实数_. 9. 9. 又已知不等式得到的推广结论，得当时；当时；当时；由归纳推理
7、可知，.10.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，13）对任意正整数，定义的双阶乘如下：当为偶数时，；当为奇数时，。现有四个命题：；个位数为0； 个位数为5。其中正确命题的序号有_. 10. 10. 由定义可知，所以，故正确，错误；，所以其个位数为0，故正确；，为奇数，因为任何奇数乘以5，各位都为5，所以的个位数为5，故正确.11.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，11）观察下列不等式：；则第个不等式为 11. 11. 观察可得不等式左边的分母被开方数满足62、126成等差数列，不等式右边1,2, 3也成等差数列，所以第5个不等式为.12.(2014湖北武汉高三2月调研测
8、试，13) 如下图所示，它们都是由小正方形组成的图案现按同样的排列规则进行排列，记第n个图形包含的小正方形个数为f(n) ，则（）f(5) ；（）f(n) 12. （1）41；（2）2n22n1 12. （1）（2）13. (2014广东,19,14分)设数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值;(2)求数列an的通项公式. 13.查看解析 13.(1)依题有解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)Sn=2nan+1-3n2-4n,当n2时,Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).-并整理得an+1=.
9、由(1)猜想an=2n+1,下面用数学归纳法证明.当n=1时,a1=2+1=3,命题成立;假设当n=k时,ak=2k+1命题成立.则当n=k+1时,ak+1=2k+3=2(k+1)+1,即当n=k+1时,结论成立.综上,nN*,an=2n+1.14. (2014陕西,21,14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf (x),x0,其中f (x)是f(x)的导函数.()令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nN+,求gn(x)的表达式;()若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;()设nN+,比较g(1)+g(2)+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.
10、 14.查看解析 14.由题设得,g(x)=(x0).()由已知,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x)=,g3(x)=,可得gn(x)=.下面用数学归纳法证明.当n=1时,g1(x)=,结论成立.假设n=k时结论成立,即gk(x)=.那么,当n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x)=,即结论成立.由可知,结论对nN+成立.()已知f(x)ag(x)恒成立,即ln(1+x)恒成立.设(x)=ln(1+x)-(x0),即(x)=-=,当a1时,(x)0(仅当x=0,a=1时等号成立),(x)在有(x)0,(x)在(0,a-1上单调递减,(a-1)1时,存在x0,使(x)n-ln(n+1).
11、证明如下:证法一:上述不等式等价于+,x0.令x=,nN+,则ln.下面用数学归纳法证明.当n=1时,ln 2,结论成立.假设当n=k时结论成立,即+ln(k+1).那么,当n=k+1时,+ln(k+1)+ln(k+1)+ln=ln(k+2),即结论成立.由可知,结论对nN+成立.证法二:上述不等式等价于+,x0.令x=,nN+,则ln.故有ln 2-ln 1,ln 3-ln 2,ln(n+1)-ln n,上述各式相加可得ln(n+1)+.结论得证.证法三:如图,dx是由曲线y=,x=n及x轴所围成的曲边梯形的面积,而+是图中所示各矩形的面积和,+dx=dx=n-ln(n+1),结论得证.15
12、.(2014安徽,21,13分)设实数c0,整数p1,nN*.()证明:当x-1且x0时,(1+x)p1+px;()数列an满足a1,an+1=an+.证明:anan+1. 15.查看解析 15.()证明:用数学归纳法证明:当p=2时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立.假设p=k(k2,kN*)时,不等式(1+x)k1+kx成立.当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.所以p=k+1时,原不等式也成立.综合可得,当x-1,x0时,对一切整数p1,不等式(1+x)p1+px均成立.()证法一:先用
13、数学归纳法证明an.当n=1时,由题设a1知an成立.假设n=k(k1,kN*)时,不等式ak成立.由an+1=an+易知an0,nN*.当n=k+1时,=+=1+.由ak0得-1-1+p=.因此c,即ak+1.所以n=k+1时,不等式an也成立.综合可得,对一切正整数n,不等式an均成立.再由=1+可得1,即an+1an+1,nN*.证法二:设f(x)=x+x1-p,x,则xpc,并且f (x)=+(1-p)x-p=0,x.由此可得, f(x)在 16.查看解析 16.(1)由已知,得f1(x)=f 0(x)=-,于是f2(x)=f 1(x)=-=-+,所以f1=-, f2=-+.故2f1+
14、f2=-1.(2)证明:由已知,得xf0(x)=sin x,等式两边分别对x求导,得f0(x)+xf 0(x)=cos x,即f0(x)+xf1(x)=cos x=sin,类似可得2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin,4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2).下面用数学归纳法证明等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的nN*都成立.(i)当n=1时,由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin.因为=kf k-1(x)+fk(x)+xf k(x)=(k+
15、1)fk(x)+xfk+1(x),=cos=sin,所以(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin.因此当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的nN*都成立.令x=,可得nfn-1+fn=sin(nN*).所以=(nN*).17.(2014北京,20,13分)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),(an,bn),记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+maxTk-1(P),a1+a2+ak(2kn),其中maxTk-1(P),a1+a2+ak表示Tk-1(P)和a1+a2+ak两个数中最大的数.()对于数对序列P:
16、(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;()记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P)的大小;()在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论) 17.查看解析 17.()T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+maxT1(P),2+4=1+max7,6=8.()T2(P)=maxa+b+d,a+
17、c+d,T2(P)=maxc+d+b,c+a+b.当m=a时,T2(P)=maxc+d+b,c+a+b=c+d+b.因为a+b+dc+b+d,且a+c+dc+b+d,所以T2(P)T2(P).当m=d时,T2(P)=maxc+d+b,c+a+b=c+a+b.因为a+b+dc+a+b,且a+c+dc+a+b,所以T2(P)T2(P).所以无论m=a还是m=d,T2(P)T2(P)都成立.()数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.18. (2014
18、北京东城高三第二学期教学检测，20) 在数列，中，且成等差数列，成等比数列（）. （）求，及，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：. 18.查看解析 18.（）由条件得，由此可得.猜测. （4分）用数学归纳法证明：当时，由上可得结论成立.假设当时，结论成立，即，那么当时，.所以当时，结论也成立.由，可知对一切正整数都成立. （7分）（）因为.当时，由（）知.所以.综上所述，原不等式成立. (12分）19.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，21）已知函数（1）当时，证明对任意的；（2）求证：（3）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围 19.查看解析 19
19、.（2）根据（1）的结论，当时，即令，则有， 7分即 8分(本问也可用数学归纳法证明.)当时，设的两根分别为与，则，不妨设当及时，当时，所以函数在上递增，在上递减，而所以时，且因此函数在有一个零点，而在上无零点；此时函数只有一个零点；综上，函数只有一个零点时，实数a的取值范围为R14分20.(2014湖北武汉高三2月调研测试，22)（）已知函数f(x) ex1tx，x0R，使f(x0) 0，求实数t的取值范围； 20.查看解析 20.（）若t0，f (x) ex10，不合题意；若t0，只需f(x) min0求导数，得f (x) ex1t令f (x) 0，解得xlnt1当xlnt1时，f (x)
20、 0，f(x) 在(，lnt1) 上是减函数；当xlnt1时，f (x) 0，f(x) 在(lnt1，) 上是增函数故f(x) 在xlnt1处取得最小值f(lnt1) tt(lnt1) tlnttlnt0，由t0，得lnt0，t1综上可知，实数t的取值范围为(，0) 21.查看解析 21. （） ，当时，函数在上单调递增，所以函数的单调递增区间为 ， （4分）当时，由，得；由，得所以函数的单调增区间为，单调减区间为 ， （6分） () 因为是函数的两个零点，有则，两式相减得即所以 ，又因为，当时，；当时，故只要证即可，即证明 , （10分）即证明，即证明，设. 令，则，因为，所以，当且仅当时，所以在是增函数；又因为，所以当时，总成立.所以原题得证. (13分)22. (2014北京东城高三12月教学质量调研) 若数列满足：对任意，只有有限个正整数m使得成立，记这样的m的个数为，则得到一个新数列. 例如，若数列是1，2，3，n，则数列是0，1，2，n-1. 已知对任意的，an=n2，则= ，= . 22. 2 22. ，而，2，猜想.