1、第3讲不等式选讲1. 令f(x)=|x+2|-|x-1|.当x-2时,x+20,x-10,则f(x)=-(x+2)-(1-x)=-3,此时f(x)=|x+2|-|x-1|1恒成立;当-2x0,x-10,则f(x)=(x+2)-(1-x)=2x+1,令f(x)1,即2x+11,解得x0,由于-2x1,则有-20,x-10,则f(x)=(x+2)-(x-1)=3,此时f(x)1不成立.综上所述,不等式|x+2|-|x-1|1的解集为(-,0.2. 方法一:因为(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a1)当且仅当a1=a2=a3时等号成立.又a1+a2+a3=,所以29,所以+1,即得证.方法二:
2、由柯西不等式得9=(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a1)=+()2+()2+()2+2=9,当且仅当()2=()2=()2,即a1=a2=a3=时取等号,所以+1.3. (1) 当a=2时,|x-2|+2x2x+1,所以|x-2|1,所以x3或x1.所以不等式的解集为(-,13,+).(2) 依题意,f(x)=因为a0,所以当x-2时,f(x)x+a-2+a,要使f(x)0,只需-2+a0即可,所以a2.故实数a的取值范围为2,+).4. (1) 当a=3时,f(x)=|x-3|-2|x-1|=所以当x1时,f(x)在(-,1上单调递增;当1x1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的
3、解集为x|x=1;当a;此时无解;解得x2时,f(x)=当a=2时,f(x)=当a2时,f(x)=所以f(x)的最小值为f(2) 或f(a),所以可解得a1或a3.故实数a的取值范围为(-,13,+).6. (1) 由f(x)3,得|x-a|3,解得a-3xa+3.又已知不等式f(x)3的解集为x|-1x5,所以解得a=2.故实数a的值为2.(2) 当a=2时,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5),则g(x)=|x-2|+|x+3|=所以当x5;当-3x2时,g(x)=5;当x2时,g(x)5.综上可得,g(x)的最小值为5,所以m5,故实数m的取值范围为(-,5.7. (
4、1) 在中令x=1,有1f(1)1,故f(1) =1.(2) 由知二次函数的图象关于直线x=-1对称,且开口向上,故设此二次函数为f(x)=a(x+1)2(a0).因为f(1) =1,所以a=,所以f(x)=(x+1)2.(3) f(x)=(x+1)2的图象开口向上,而y=f(x+t)的图象是由y=f(x)的图象向左或向右平移|t|个单位长度得到的,要在区间1,m上使得y=f(x+t)的图象在y=x的图象下方,且m最大,则1和m应当是方程(x+t+1)2=x的两个根.令x=1代入方程,得t=0或-4.当t=0时,方程的解为x1=x2=1(这与m1矛盾,舍去);当t=-4时,方程的解为x1=1,x2=9,所以m=9.又当t=-4时,对任意x1,9,y=f(x-4)-x=(x-3)2-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0,即f(x-4)x恒成立.所以最大的实数m为9.8. 因为a,b,c均为正实数,所以,当且仅当a=b时等号成立;,当且仅当b=c时等号成立;,当且仅当c=a时等号成立.将以上三个不等式相加即得+,当且仅当a=b=c时等号成立.
