1、23.3点到直线的距离公式23.4两条平行直线间的距离新课程标准解读核心素养1.探索并掌握点到直线的距离公式数学抽象、数学运算2.会求两条平行直线间的距离直观想象、数学运算在铁路的附近，有一大型仓库现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.问题怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？知识点点到直线的距离与两条平行直线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d两条平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20(C1C2)之间的距
2、离d1若点P(x0，y0)到直线l1：ya与l2：xb的距离分别为d1，d2，那么d1，d2如何求？提示：d1|y0a|，d2|x0b|.2两条平行直线间的距离公式写成d时对两条直线应有什么要求？提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等1原点到直线x2y50的距离为()A1B.C2 D.解析：选Dd.2已知直线l1：xy10，l2：xy10，则l1，l2之间的距离为()A1 B.C. D2解析：选B由题意知l1l2，则l1，l2之间的距离为.点到直线的距离例1(链接教科书第77页例5)求点P(3，2)到下列直线的距离：(1)yx；(2)y6；(3)x4.解(1)直线yx
3、化为一般式为3x4y10，由点到直线的距离公式可得d.(2)因为直线y6与y轴垂直，所以点P到它的距离d|26|8.(3)因为直线x4与x轴垂直，所以点P到它的距离d|34|1.应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；(3)直线方程AxByC0中，A0或B0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解 跟踪训练求垂直于直线x3y50且与点P(1，0)的距离是的直线l的方程解：设与直线x3y50垂直的直线的方程为3xym0，则由点到直线的距离公式知：d.所以|m
4、3|6，即m36.得m9或m3，故所求直线l的方程为3xy90或3xy30.两平行直线间的距离例2(链接教科书第78页例7)求与两条平行直线l1：2x3y40与l2：2x3y20距离相等的直线l的方程解设所求直线l的方程为2x3yC0.由直线l与两条平行线的距离相等，得，即|C4|C2|，解得C1.故直线l的方程为2x3y10.由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：(1)设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；(2)直接运用两平行直线间的距离公式求解 跟踪训练1两直线3x4y20与6x8y50的距离等于()A3B7C. D.解析：选C3x4y20变为6x
5、8y40，则两平行线间的距离为d.2若直线m被平行直线l1：xy10与l2：xy30所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是：15；30；45；60；75.其中正确答案的序号是_解析：两平行线间的距离d，故m与l1或l2的夹角为30.又l1，l2的倾斜角为45，直线m的倾斜角为304575或453015.答案：距离的综合应用例3已知正方形的中心为直线2xy20，xy10的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x3y50，求正方形另外三边所在直线的方程解设与直线l：x3y50平行的边所在的直线方程为l1：x3yc0(c5)由得正方形的中心坐标为P(1，0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得，得
6、c7或c5(舍去)l1：x3y70.又正方形另两边所在直线与l垂直，设另两边所在直线的方程分别为3xya0，3xyb0.正方形中心到四条边的距离相等，得a9或a3，同理得b9或b3.另两条边所在的直线方程分别为3xy90，3xy30.另外三边所在的直线方程分别为3xy90，x3y70，3xy30.利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题 跟踪训练若动点A，B分别在直线l1：xy70和l2：xy50上，则AB的中点M到
7、原点的距离的最小值为_解析：依题意，知l1l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：xym0(m7且m5)，根据平行线间的距离公式，得|m7|m5|m6，即l：xy60，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为3.答案：31已知点(a，2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A.B.1C.1 D2解析：选B由点到直线的距离公式，得1，即|a1|.a0，a1，故选B.2倾斜角为60，并且与原点的距离是5的直线方程为_解析：因为直线斜率为tan 60，可设直线方程为yxb，化为一般式得xyb0.由直线与原点距离为5，得5|b|10.所以b10，所以所求直线方程为xy100或xy100.答案：xy100或 xy1003已知直线l经过点P(2，5)，且斜率为.(1)求直线l的方程；(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程解：(1)由直线方程的点斜式，得y5(x2)，整理得所求直线方程为3x4y140.(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x4yC0，由点到直线的距离公式得3，即3，解得C1或C29，故所求直线方程为3x4y10或3x4y290.
