1、课时提升作业 六函数的奇偶性与周期性(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016福州模拟)若函数f(x)(xR)是奇函数,函数g(x)(xR)是偶函数,则一定成立的是()A.函数f(g(x)是奇函数B.函数g(f(x)是奇函数C.函数f(f(x)是奇函数D.函数g(g(x)是奇函数【解析】选C.由题意得,函数f(x),g(x)满足f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),则有f(g(-x)=f(g(x),g(f(-x)=g(-f(x)=g(f(x),f(f(-x)=f(-f(x)=-f(f(x),g(g(-x)=g(g(x),故f(f(x)是奇函数.2.(2016郑州
2、模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是()A.y=log2|x|B.y=cos2xC.y=D.y=log2【解析】选A.对于A,函数y=log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数;对于B,函数y=cos2x在区间(1,2)上不是增函数;对于C,函数y=不是偶函数;对于D,函数y=log2不是偶函数.【加固训练】(2016大连模拟)下列函数中,与函数y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-,0)上单调性也相同的是()A.y=-B.y=log2|x|C.y=1-x2D.y=x3-1【解析】选C.函数y=-3|x|为偶函数,在(-,0)上为增函数,选项B的函数是偶函数,但其
3、单调性不符合,只有选项C符合要求.3.已知函数f(x)是(-,+)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x0,1时,f(x)=2x-1,则f(2017)+f(2018)的值为()A.-2B.-1C.0D.1【解析】选D.因为函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),又函数的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f(2+x)+2)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的周期为4.又函数的图象关于x=1对称,所以f(0)=f(2),所以f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=21-1+20-1=1.【方法技巧】
4、周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点:(1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调节转化正负号的作用.4.(2016九江模拟)已知定义在R上的偶函数f(x),在x0时,f(x)=ex+ln(x+1),若f(a)f(a-1),则a的取值范围是()A.(-,1)B.C.D.(1,+)【解析】选B.根据题中所给的函数解析式,可知函数在0,+)上是增函数,根据偶函数图象的对称性,可知函数在(-,0上是减函数,所以f(a)f(a-1)等价于|a|a-1|,解得a.【加固训练】(2016唐山模拟)f(x)
5、是R上的奇函数,当x0时,f(x)=x3+ln(1+x).则当x0时,f(x)=()A.-x3-ln(1-x)B.x3+ln(1-x)C.x3-ln(1-x)D.-x3+ln(1-x)【解析】选C.当x0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),因为f(x)是R上的奇函数,所以当x0的解集为()A.x|x2或x-2B.x|-2x2C.x|x4D.x|0x0.f(2-x)0,即ax(x-4)0,解得x4.4.(2014湖南高考)若f=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=.【解析】由偶函数的定义得f=f,即ln-ax=ln+ax,-3x=2ax,a=-.答案:-二、填空题(每小题5分,共15分
6、)6.已知函数f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=lnx,则f的值为.【解析】由已知可得f=ln=-2,所以f=f(-2).又因为f(x)是奇函数,所以f=f(-2)=-f(2)=-ln2.答案:-ln2【加固训练】已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)=.【解析】根据题意,f(x)=1+,而h(x)=是奇函数,故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=2-1+h(a)=2-f(a)=2-=.答案:7.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:f(x)+f(-x)=0;f(x)=f(x+2);当0x1时,f(x)=2x-1,则f+f(1)+f+f(2)+f=.【解析】依题意知,函
7、数f(x)为奇函数且周期为2,所以f+f(1)+f+f(2)+f=f+f(1)+f+f(0)+f=f+f(1)-f+f(0)+f=f+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.答案:8.(2016合肥模拟)设定义在-2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1-m)f(m),则实数m的取值范围是.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)f(m),等价于f(|1-m|)f(|m|).又当x0,2时,f(x)是减函数.所以解得-1m.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2014山东高考)对于函数f(x),若存在常数a0,使得x
8、取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是()A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1)【解题提示】本题为新定义问题,准确理解准偶函数的概念再运算.【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知,f关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.【加固训练】定义两种运算:ab=,ab=,则f(x)=是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.因为2x=,x2=,所以f(x)=,该函数的定义域是-2,0)(0,2,且满足f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.2.
9、(5分)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg2)+f=()A.-1B.0C.1D.2【解题提示】利用函数g(x)=ln(-3x)的奇偶性求解.【解析】选D.设g(x)=ln(-3x)=f(x)-1,g(-x)=ln(+3x)=ln=-g(x).所以g(x)是奇函数,所以f(lg2)-1+f-1=g(lg2)+g=0,因此f(lg2)+f=2.3.(5分)(2016长沙模拟)设f(x)是定义在实数集R上的函数,若函数y=f(x+1)为偶函数,且当x1时,有f(x)=1-2x,则f,f,f的大小关系是.【解析】因为函数y=f(x+1)为偶函数,图象的对称轴为y轴,把y=f(x+1)的图
10、象向右平移1个单位长度得到函数y=f(x)的图象,所以函数y=f(x)的图象的对称轴为x=1.又已知当x1时,有f(x)=1-2x,此时f(x)为减函数,所以当xff.答案:fff4.(12分)设f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1时,f(x)=x.(1)求f()的值.(2)当-4x4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.(3)写出(-,+)内函数f(x)的单调区间.【解析】(1)由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=f(x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.所以f()=f(-14+)=f(-4)=-f(4-)=
11、-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f(x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1),即f(1+x)=f(1-x).从而可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0x1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.设当-4x4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4SOAB=4=4.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k-1,4k+1(kZ),单调递减区间为4k+1,4k+3(kZ).5.(13分)已知函数y=f(x)在定义域-1,1上既是奇函数,又是减函数.(1)求证:对任意x1,x2-1,1,有f
12、(x1)+f(x2)(x1+x2)0.(2)若f(1-a)+f(1-a2)0,求实数a的取值范围.【解析】(1)若x1+x2=0,显然不等式成立.若x1+x20,则-1x1f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)0.所以f(x1)+f(x2)(x1+x2)0,则1x1-x2-1,同理可证f(x1)+f(x2)0.所以f(x1)+f(x2)(x1+x2)0成立.综上所述,对任意x1,x2-1,1,有f(x1)+f(x2)(x1+x2)0恒成立.(2)因为f(1-a)+f(1-a2)0f(1-a2)-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定义域-1,1上是减函数,得即解得0a1.故所求实数a的取值范围是0,1).